感悟探究数学之美 启迪学生深度学习

吕亚军 顾正刚

随着“知识社会”浪潮的到来，社会对人的学习能力的要求越来越高，机械式、被动式的浅层学习方式已远不能适应社会需求，社会更需要具有创新思维、协作精神、深度探究等高阶思维能力的人，而数学课堂教学的目的就是要帮助学习者学会思考、学会学习，培养问题意识，发展探究能力，实现主动的、有意义的“深度学习”.

笔者认为，初中生数学深度学习是相对初中数学教学中所出现的机械式、被动式的浅层学习方式而言的，深度学习并不是对浅层学习的排斥，而是在浅层学习的基础上，由接受式学习向探究式学习转化，由低阶思维能力向高阶思维能力发展，由简单知识结构向拓展抽象型知识结构延伸，实现在原有知识、经验基础上的主动建构，逐渐完善个人数学知识体系，并有效迁移应用到真实情境的过程，初中生数学深度学习具备主动理解与批判接受、激活经验与建构新知、知识整合与深层加工、把握本质与渗透思想、有效迁移与问题解决等特征，并提出初中生数学深度学习的促进策略：创设情境、问题驱动、知识整合、合作探究等，数学探究式教学是以探究数学问题为主的教学，是学生获得数学知识并培养探究能力的有效途径，而合作探究作为其重要策略之一，教师可以通过引导学生自主探究，激活学生探究欲望，建构知识结构体系，从而提高学生高阶思维能力，促进学生深度学习能力的发展，培养学生数学核心素养，

以下是课题组成员在教学实践中开设的一节教学研讨课，通过一道2015年辽宁省本溪市中考数学第25题的讲解，引导学生深入探究，本文从中选取了几个教学片段，探讨基于深度学习的教学策略改进，以期为初中数学课堂教学提供借鉴.

1 教学片段

片段1：（原问题）

师：如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时钟旋转，旋转角为α（0°<α<180°）.

探究1：当∠BAC= 60°时，将BP旋转到图2位置（0°<α< 60°），点D在射线BP上，若∠CDP= 120°，∠ACD与∠ABD的大小关系如何？

（学生很快解决，发现∠ACD=∠ABD）

师：探究2：在图2中，你能猜想出线段BD，CD与AD之间的数量关系吗？请说明理由.

生1：BD=CD+AD.在BD上取点E，如图3，使得BE=CD，连结AE.因∠BAC= 60°，AB=AC，则△ABC为等边三角形，可得△ABE≌△ADC，所以AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°，可得DE=AD，则结论BD=CD+AD成立，

师：刚才同学通过“截长”的办法得出结论BD=CD+AD.有没有其他方法呢？

师：很好！刚才同学们利用多种办法解决了此探究问题，我们发现，针对此类题型可以采用“截长或补短”的办法添加辅助线.（因教材中没有讲解四点共圆的判定，所以生3、生4的方法要通过证明相似，得到∠ADB=∠ACB=60°，略显繁琐）

师：探究3：当∠BAC=60°时，将BP旋转到图6位置（60°<α<180°）.点D在射线BP上，若∠CDP=60°，∠ACD与∠ABD的数量关系如何？

生5：∠ACD+∠ABD=180°，因为∠CDP= 60°，所以∠CDB=120°，由于∠BAC=60°，可得∠ACD+∠ABD=180°.

师：探究2中AD，CD，B之间的关系在探究3中是否仍然成立？如果不成立，它们之间存在怎样的数量关系？并说明理由，

生6：结论不成立，数量关系应该变为AD=BD+CD.从探究2中的方法，可以考虑延长DC到E使得CE=BD，连结AE，如图7，由∠ACD+∠ABD=180°，所以∠ABD=∠ACE，所以△ABD≌△ACE，AD=AE，∠DAB=∠EAC，所以∠EAD= 60°，ED=AD，可得AD= BD+CD成立.

生7：也可以延长DB到E使得BE=CD，可得△ABE≌△ACD，如图8，类似可得AD=AE=DE，AD=BD+CD成立.

师：两位同学的做法都不错，当然本题也可以采取截长的办法，课后可以去研究.（采取“截长”的办法，如图9，在AD上取点E，使得AE=CD，连结BE.利用四点共圆的办法，求得∠DAB=∠BCD，可得△AEB≌△CDB，可得AD=BD+CD成立）

师：探究4：当∠BAC=90°时，将BP旋转到图10位置（0°<α< 45°），点D在射线BP上，若∠CDP=90°，试探究：BD，CD，AD之间存在怎样的关系？小组可以互相探讨一下.（学生讨论）

师：两位同学的方法都很好，大家通过联想前面的思路，解决了本题，本探究中∠CAB的度数发生了变化，但是解题思路没有发生变化，本质没有发生根本性变化.

师：探究5，仿照前面的思考，将BP旋转到图13位置（45°<α<180°），点D在射线BP上，若∠CDP=90°，试探究：BD，CD，AD之间存在怎样的关系？小组可以互相探讨一下.（学生讨论）

评析 片段1中教师不是简单地将中考试题直接呈现，而是运用探究的教学方式，将中考试题拆分成几个具有探究价值的问题，与学生一起探究，推进课堂教学的逐步深入，学生在解决问题时，在教师的引導下，激活学生已有经验，启发其运用“截长补短”的添加辅助线办法，把握数学本质，创造性地提出了多种解决问题的途径，进而提升学生主动思考的能力，促进其深度学习及高阶思维能力的发展，

片段2：（问题推广）

师：在AABC中，AB=AC，∠BAC=β，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<180°）.

评析 片段2和片段3的教学中，教师不是讲完一道中考题就结束，而是运用一般化的数学思想，将原有的探究条件进行改编，利用两次推广，与学生共同探究出了一般性的结论，学生从中能充分领略到“变中求不变”的数学思想，并在新的教学情境中实现了有效迁移，进而促进其深度学习的达成.

2 教学启示

2.1 深挖素材，打造有效课堂

在教学中要充分挖掘教材中的探究素材，从广义上说，教材不仅局限于课本，凡是有利于学习者增长知识或发展技能的材料都称为教材，从这个层面理解，教材还包括除课本外的比如练习册、试题库、网络上的学习资料等，这里统称为教学素材，教学中要充分挖掘教学素材，对一些素材不能“就事论事、就题论题”，而要举一反三，充分运用数学思想方法、数学学科工具，挖掘教学素材潜在的教育功能，激发学生的求知欲，培养学生的创新意识，促进对数学知识的深度理解及高阶思维的发展.

本节课例中的教学片段1-3中，教师以一道中考试题为素材，教师深度挖掘素材，不是就题论题、为讲题而讲题，而是充分运用特殊到一般的数学思想方法，特别在片段2和片段3中，以探究的教学方式引导学生深度探究，通过改编原始问题的条件，与学生共同得出一般性的结论，让学生充分体验课堂教学的有效性，充分感受数学学科的魅力及教师教学的艺术，提高学生学习数学的兴趣，引发学生对数学问题的深度思考，促进深度学习能力的提升.

2.2 合作探究，培养创新思维

《义务教育数学课程标准》（2011版）明确提出：“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能….”[1]实践证明，合作探究的学习方式更容易激发学生学习数学的兴趣，拓宽学生参与课堂活动的广度;只有引导学生主动探究，相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充，才能促进学生对数学知识的深度理解与灵活运用，随着社会的不断发展，合作探究式教学作为一种重要的教学形式，日益凸显出它的优越性，也得到了教育界广泛的认可与推广.

在片段1-3中，教师以探究为主线，学生的求知欲望被激发，思维火花在碰撞中被点燃，无论是片段1中的一题多解，还是片段2和片段3中的原问题的进一步推广，都能充分尊重学生的个性，发挥学生的主体性，通过引导学生同伴互助的形式，主动发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，促进学生深度学习的发生.

2.3 追根溯源，探求数学本质

张奠宙教授曾指出，数学本质内涵一般包括：数学知识的内在联系;数学规律的形成过程;数学思想方法的提炼;数学理性精神的体验等方面.[2]数学教学必须重视通过渗透数学思想揭示数学本质，让课堂因思想而厚重，数学思想方法是数学发展的推动力之一，只有能揭示数学本质、渗透数学思想的课堂，才能让学生数学思维自然流淌，才能体现数学学习与教学过程的真正统一.

片段1-3中，尽管问题的条件发生了变化，但是解题的思路、添加辅助线的方法、结论的基本形式都一样，学生在教师的引导下，逐步领会到“在变中求不变”的思想，整个教学案例还充分体现了从特殊到一般的数学思想，在教学中，教师要摒弃一味地讲授、纯粹的数学技能机械训练，要引导学生挖掘数学规律、蕴含的数学思想及数学知识的本质属性，这样才能促进学生高阶思维的发展，提升深度学习的能力.

3 结束语

深度学习研究的兴起，是人们自觉回应知识经济、终身教育、优质教育理念对基础教育发展要求的结果，因此，如何促进深度学习和培养学生深度学习能力，将成为未来教育改革发展的重要课题.[3]教育者应该充分挖掘教育资源，不断提高自身的专业素养，潜心研究，探索基于核心素养和深度学习的教学改进策略，促使学生數学深度学习的实现，进而提升学习者适应社会的能力.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.《义务教育数学课程标准》[M].北京：北京师范大学出版社， 2011

[2]马玉华.浅谈如何提高初中数学课堂效果[J].课程教育研究，2013（12）：85

[3]张浩，吴秀娟，王静.深度学习的目标与评价体系构建[J].中国电化教育，2014 （7）：51-55