一个不等式恒成立问题的求解与思考

沈良

不等关系与相等关系是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，“数量、变量之间相等与不等关系”的研究成为数学学习的一个重要课题，不等式是一种数学表示形式，描述若干个量之间的不等关系，等式刻画的是若干个量之间的相等关系，不等式作为刻画不等关系的重要代表，如同方程是刻画相等关系的重要代表一样，是数学的重要研究对象，也因此，不等式恒成立条件下求参数取值范围成为数学考查中的一类经典问题。

不等式恒成立问题历来是高考的热点和重点，以变量与参数共存的不等式为背景来考量学生能较好考查学生思维的灵活性、深刻性与辩证性，能较好考查学生的知识技能、思想方法与能力素质等，因此在每年的高考与模拟试题中这方面的问题也是精彩丰呈，下面，笔者就对新疆维吾尔自治区2017年普通高考第二次适应性检测第21题，这个有关不等式恒成立条件下求参数值问题，从多样解法、蕴涵几何背景、渗透思想方法、知识拓展及教学启示等角度进行探讨。

1题意分析

分析本题第1小题为函数单调性的判断，主要是求导后研究导函数取值的正负问题，同时（1）问又为（2）问做好热身;第2小题条件中为一个不等式恒成立问题，求解的是a的所有可能的取值的集合，这也是本题的巧妙所在，与通常在不等式恒成立条件下求参数范围不同，本题求解的是以的具体值，题目条件简洁清爽，简约而不简单，蕴含多种解法，蕴含丰富几何意义，解决本题需要学生有一定的分类讨论能力、数形结合能力、推理论证能力及较好的计算能力等，很好体现了试题能力立意的的特点。

2解法探究

解法2分离参数法

对于不等式恒成立问题，我们自然还会想到分离参数法（或称分离变量法）。

解法3数形结合法

对于不等式恒成立问题，我们自然还会联想到转化为两个函数的图象问题研究。

3教学启示

（1）抓住知识本质教学

（2）融入数学思想方法

从上述问题的解决，可以看到，数学思想方法在问题解决中起着一种高屋建瓴的指导作用，如不等式与方程、函数的互化，实现了不等式的有效转化;如运用数形结合的方法，实现“以形观数”，直观明了，特别是运用函数图象解决不等式问题非常巧妙，简化了许多计算;如转化与化归思想的应用，有效实现参变量分离，数学思想是知识的精髓，是方法的精神，是对知识与方法的高度概括与提炼，而数学方法是数学思想的具体化，是在数学的提出、解决数学内部问题或实际问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等，具有实践性，若说数学方法是外显的，那么数学思想可以说是内隐的，数学思想能更深刻地反映数学对象之间的内在关系，是进一步对数学方法的概括与升华，教学中，有机融入数学思想方法，有助于提升学生数学素养。

（3）宏观与微观相结合

数学教学要注重整体格局的把握，要注重将宏观与微观结合，宏观是大的方向，大的背景，它是学生问题解决的总体思路，具体如思想方法的引导;微观即是小的技巧，問题的切入点，问题解决细腻的处理，反映的是面对问题解决中不同的情境采用的方法，本题中，于教师而言不仅宏观上需要知晓这三种处理方法，而且微观上也需要掌握这三种处理方法应用的具体知识;于学生而言，因为有些知识超越了学生的认知能力，不妨点到为止，但宏观上可以将上述方法2与方法3的思路与学生分享，不仅体现知识方法完整性，也体现数学的解法的多样性和简洁性，解题教学中，宏观与微观相结合，有助于学生厘清思路，把握问题本质。

参考文献

[1]金雪根.抓住本质、突出主线、促进发展：例谈关注数学学科本质的课堂教学[J].小学数学教师，2011（7）：87-98