一道零点存在问题的“不简单”处理

张威威

零点存在性的判断和零点个数的判定作为高考的重点和难点，在历年的高考中都有体现，而通常的解决办法主要是通过构造新函数借助于导数讨论函数的图象，但这种方法对于比较复杂的函数处理起来比较困难，而通过掌握一些常见的复杂函数的图象有助于理解和解决函数的零点存在问题。

笔者所在的学校为省级示范高中，学生有较强的自主学习能力和计算机水平，在以往的学习中学生能够熟练使用几何画板处理数学中的图象问题，解决函数零点个数问题，主要方法有零点存在性定理和图象法，本文主要借助于图象法，直观的呈现交点个数，借此掌握常见的几类与指数函数相关的函数图象，作为后期类似问题处理的基础。

1模拟题简介

该题综合性较强，涉及到函数、导数、不等式等多个高中数学的主干知识，有助于提升学生的转化与化归、数形结合等思维水平，是学生平时训练提升的优秀素材。

2学生解题分析

学生在解答中发现，解法1和解法2可以通过直接分析可得，但在解法3和解法4中由于构造的函数相对复杂，直接通过分析比较困难，所以学生就利用几何画板进行处理得到结论。

在本题的解答过程中，学生主要是利用导数分析函数的单调性与最值，本题中学生可以选择构造多种函数，但不同的函数在单调性及最值的处理中难易程度不同，所以对于较难分析的函数可以引导学生在计算机的帮助下利用画图软件，加深对这几类函数的图象的分析与理解。

3解题教学的几点思考

笔者通过本题的教学，有以下几点感触：

（1）在解题教学中要摸准学情，把准学生的思维起点，对于一些常见的数学问题，学生与教师有着不同的认识，在平时教学中不要把一些方法直接灌输给学生，要站在学生角度，沿着学生的认识规律，并结合教学的具体过程，引导学生变换角度看问题，提升思维能力和拓展思维空间，将此类问题的通法渗透给学生，从而提升学生的解题能力，提高课堂解题教学的效率。

（2）在解题教学中要重分析和比较，在此问题中可以使用分离参变量法转换为最值问题，也可以直接构造函数转化为交点问题;在平时的教学中要多分析、多比较，让学生逐步积累解题经验，当再次遇到类似问题时，可以独立分析从而选择最佳解決方案。

（3）在解题教学中要注重计算机软件的应用，借助计算机为学生提供更直观、更深刻的认识，这样有助于加深理解，并能够掌握常见函数的图象。

参考文献

[1]教育部.普通高中数学课程标准（2003版）[M].北京：人民教育出版社，2003

[2]崔志荣.以学生的思维为起点追求自然合理的解法——一道检测题的方法教学与思考[J].数学通讯，2015 （11）： 43-47