江苏省淮安外国语学校八(1818)班 周昊喆
之前一直觉得勾股定理既神秘又常见,带着这份憧憬,终于学完了“勾股定理”这一章,收获多多.对最短路径问题,我特别感兴趣,下面选两个典型的题目和大家一起分享我的心得体会.
【例1】(2015·资阳)如图1,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒.此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( ).
图1
图2
想法:这是一个立体图形,想要爬行的距离最短,我们需要将其展开成一个平面图形.本题中蚂蚁在容器外壁,要到达饭粒位置需要先到达容器上沿,再到饭粒位置.我们可借助对称找到蚂蚁位置的对称点,再借助“两点之间,线段最短”找出蚂蚁所爬的路径,最后由勾股定理计算出最短距离.
解:圆柱侧面展开如图2,作点A关于容器上沿的对称点A′,则AE=A′E=3,连接A′C,A′C的长度即为蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径.过点C作CB⊥AA′于点B,则BE=9,BC=5,∴A′B=12.
在Rt△A′BC中,由勾股定理得:
故选A.
【例2】如图3,一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B.如果它运动的路径是最短的,则最短路径的长为_______.
图3
想法:想要求得爬行路径的最小值,就得先把点A到点B的最短路径画出来.我们先将蚂蚁需要爬到的面展开,再找到点A和点B,最后连接AB,由勾股定理计算出线段AB的长度即可.
解:如图4,将正方体的三个侧面展开,连接AB,则 AB为最短路径.在 Rt△ABG中,AB=
图4
教师点评:最短路径问题是常见的题型,中考中有些压轴题也会涉及.有些同学对这类问题不太适应,主要原因是缺少一些方法.周昊喆同学举了两个典型例子,我们看到他处理的思路始终都是“展开-找点-连线-计算”,这也是我们以后处理这类问题的思路和方法.希望本文对你有所启发.