陈 芬
(作者单位:江苏省淮安外国语学校)
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论,它有着悠久的历史,在数学发展中起着重要的作用.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系,将数与形统一起来,在现实生活中有着广泛的应用.
1.勾股定理:直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.
2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为 a、b、c,且 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
3.满足关系 a2+b2=c2的 3 个正整数 a、b、c称为勾股数.
直角三角形是一个几何图形,而勾股定理反映的是三边长的数量关系,是代数问题.其逆定理是从数量关系得到图形的情况.在探索勾股定理时,利用网格图中的方格得到数量关系也是数形结合的完美体现.
【例1】如图1,在矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连接EF交CD于点G.若G是CD的中点,则BC的长是( ).
A.7 B.8 C.9 D.10
图1
【分析】先利用ASA证明△DEG和△CFG全等,可得 DE=CF,EG=FG.设 DE=x,用 x表示出BF,再利用勾股定理求EG,再求出EF.然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BF=EF,从而求出AD,再根据矩形的对边相等可得BC=AD.
解:∵在矩形ABCD中,G是CD的中点,
易证△DEG≌△CFG,∴DE=CF,EG=FG.
设 DE=x,则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x.在 Rt△DEG 中 ,
∵FH垂直平分BE,∴BF=EF,
∴AD=AE+DE=4+3=7,
∴BC=AD=7.故选A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键.
【例2】如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,若点 P在 AD边上,连接BP、PC,△BPC是以PB为腰的等腰三角形,则PB的长为_____.
图2
图3
图4
【分析】需要分类讨论PB=PC和PB=BC两种情况.
解:在矩形ABCD中,AB=CD=4,BC=AD=6.
如图3,当PB=PC时,即点P是BC的中垂线与AD的交点,则
在Rt△ABP中,由勾股定理得:
如图4,当BP=BC=6时,△BPC也是以PB为腰的等腰三角形.
综上所述,PB的长度是5或6.
故答案为:5或6.
【点评】本题考查了矩形的性质,等腰三角形的判定和勾股定理.解题时,要分类讨论,防止漏解.
解决问题时从问题的数量关系入手,通过已知量与未知量的关系建立方程(组),使问题得到解决,这就是方程思想.
【例3】如图5,笔直的公路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B.已知DA=15km,CB=10km,现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到收购站E的距离相等,则收购站E应建在离A点多远处?
图5
【分析】根据C、D两村到E站的距离相等,可得DE=CE.在Rt△DAE和Rt△CBE中,设出AE的长,根据勾股定理可将DE和CE的长表示出来,列出等式求解.
解:∵C,D两村到E站的距离相等,
∴DE=CE.
∵DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,
∴∠A=∠B=90°.
∴AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2.
∴AE2+AD2=BE2+BC2.
设AE=x,则BE=AB-AE=25-x.
∵DA=15,CB=10,
∴x2+152=(25-x)2+102,
解得:x=10,
∴AE=10.
∴收购站E应建在离A点10km处.
【点评】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来,再利用等量关系列方程求解即可.