100%遇见你

严酷的魔王

星期五的晚上，李明和张亮相约明早一起去逛动物园。但他们因为聊得太高兴，忘记约定具体的碰面时间，只说大概八九点，并且先到的人只等对方10分钟，对方未出现便先进园。

问题来了，如果他们到达动物园的时间是随机的，那么他们能碰上吗？

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就不能多等一会儿吗？一个人逛动物园多无聊啊！

这就要看他们的默契了。当然，如果他们都思考一下，并且数学足够好，那么他们应该能碰上。

碰面概率可以算出来

站在李明的角度来说，张亮可能会在任意一个时间出现，因此我们可以用划分时间的方法来计算碰面概率。不妨将8点到9点这1小时分成8：00～8：10、8：10～8：50和8：50～9：00三段。对于第一个时间段，因为张亮的到达时间是随意的，平均到达时间是8：05，所以只要李明在8：00～8：15这15分钟内出现就能碰上，概率是15/60=1/4。

类似的，如果张亮在第三个时间段内到达，其平均到达时间就是8：55，那么只要李明在8：45～9：00这15分钟内出现就能碰上，概率也是15/60=1/4。

最后，我们来分析中间那段时间。对于这段时间，张亮的平均到达时间是8：30，那么只要李明在8：20～8：40这20分钟内出现就能碰上，概率是20/60=1/3。

因为第一、三个时间段都占总时长的1/6，第二个时间段占总时长的2/3，于是我们可以得到碰面概率是1/4×1/6+1/3×2/3+1/4×1/6=11/36。

呼——算了这么老半天，消耗了我不少脑细胞，终于把概率算出来了。不行，我得去吃点东西补补。

你啊，为什么不画图呢？图一出来，概率就出来了！

画图算概率更简单

如果把李明的到达时间记在x轴上，把张亮的到达时间记在y轴上，那么他们的到达时间便可以用坐标系中的点（x，y）来表示，根据设定可知这个点一定会落在图中的正方形区域。而如果两人能碰上，那么他们先后到达的时间间隔一定小于或等于10分钟，即有x-y≤10或y-x≤10。画出x-y=10和y-x=10（确定两点便可画出），也就是说，如果两人能碰上，那么他们的到达时间（x，y）必须要落在图中的阴影区域。

所以，碰面概率就是阴影区域面积与正方形面积之比。正方形面积=60×60=3600，阴影区域面积=3600-50×50÷2×2=1100，所以碰面概率是1100÷3600=11/36。

100%碰面法

如果李明略加考虑，那么他不会选择距离8：00或9：00很近的时间到达。因为如果他出现在8：00，就意味着张亮必须在接下来的10分钟内到达他们才能碰上。相比之下，選择8：01会更好，这样张亮的到达时间可以在8：00～8：11这11分钟内选择。按照这个逻辑，8：02又比8：01更合适……这样的择优选择能一直类推到8：10。

同样的，对于9点而言，我们也可以运用上面的择优法选出8：50。这样一来，李明就将自己的到达时间范围从8：00～9：00缩小到8：10～8：50。而如果张亮足够理性，他也会这样想。

因为他们的到达时间范围变短了，而等待时间不变（依然是10分钟），所以碰面概率一定会有所提高。事实上，根据之前的计算方法，两人的碰面概率提高到了7/16。

概率虽有所提高，但李明和张亮并不满足，毕竟他们想要的是100%遇见。人们在选择策略时的逻辑一般是这样的：

所以，去掉一次非最优策略后，李明和张亮不会停下思考的步伐，除非他们已经确定筛选不出更优的策略。

前面两人通过各自的推理，确定出了一个新的到达时间范围8：10～8：50。在新时间范围里，再次应用之前的逻辑，我们会发现选择在8：10到达也是不明智的。因为两人肯定不会在这个时间之前出现，这样的选择就等于只留给对方10分钟，所以8：11会更好，相似的逻辑再次出现。与上一轮的思考相似，时间范围会被缩减到8：20～8：40。

分析到这，想必大家都明白了。没错，这个时间范围仍然有继续缩减的余地，只要它还是个范围、不是某个时间，它就能继续被缩减。

按照上面的思路，最后李明和张亮都会将到达时间锁定在8：30，所以即使忘记约定具体时间，两人还是会默契地在8：30出现，然后成功遇见。

通常情况是，等待时间不是10分钟，而且到达时间范围可以随意设置，根据上面的分析，两人最终还是会选择时间范围的中间时间到达。实际上，这是一个关于时间的博弈，而选择8：30就是最优策略：如果双方都选择在这个时间出现，那么等待时间为0分钟，碰面概率就是100%。

亲爱的小读者，只要我们足够理性，还懂点博弈逻辑，不靠运气，无需约定具体时间，我们照样可以100%遇见。这么不可思议的数学，你服不服？你也试着用数学知识分析一些生活中的现象吧，保你会有意外惊喜。记得扫二维码关注“广西期刊传媒集团”，和我们一起分享哟！