多项式实根数目判定的Sturm方法

于沁涵

摘 要：一元多项式方程的求解是代数学的基本问题，本文通过探讨Sturm方法的原理，对任意给定的一元多项式方程，可以判断该多项式在任意给定区间上的实根的个数。

关键词：多项式方程；Sturm方法；实根个数

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）20-0210-02

1 引言

方程是最基本的数学表达式，可以用来描述各种已知与未知之间的数量关系。从9世纪开始数学家们就对方程求解有很多研究，如阿拉伯数学家M.Khowarizmi（约780-约850）给出了一次和二次方程的一般解法；1541年，意大利数学家N.Tartaglia给出了三次方程的一般解法；1545年意大利数学家G.Cardano在他的名著《大术》中，把Tartaglia的三次方程的解法加以发展，并记载了数学家L.Ferrari的四次方程的一般解法。数学史上，如何求解五次以上代数方程的根式解很快变得扑朔迷离，在接下来的两个多世纪中，很多优秀的数学家尝试了不同的方法，试图揭开谜团。1788年，法国数学大师J.L.Lagrange提出了五次方程根式解不存在的猜想。1824年，挪威年轻的数学家N.H.Abel成功的证明了五次以上一般方程没有根式解。在Abel之后，人们已经知道五次以上的一般方程无根式解，但很多特殊的方程，如x5=1，可根式求解。到底哪些方程可以根式求解，哪些不可以，具體判断的依据是什么？1828年，法国天才数学家E.Galois巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理。

对于低次方程，可以利用根式求解方法求得其精确解，进而可以判断实根的数目；但对于高次的情形，通常很难求出其精确解，而一些求近似实根的数值方法在实际应用中又存在一定的局限性。为此，本文的研究目的：即任意给定的一个一元多项式，通过运用Sturm方法，判断该多项式在任意给定区间上实根的个数。

2 多项式实根数目判定预备知识

对给定的多项式，首先要先对根的界进行估计，即可以找到一个数，使得的所有实根都包含在区间上。

定理1：设是实系数多项式，假设，并记：

则对任意或，有。

对多项式实根数目进行精确判定的结果最先由法国数学家J.C.Sturm给出，称为Sturm定理[1-2]。在介绍Sturm方法之前，我们首先引入符号序列的变号数及相关概念。

设为一实数序列，称 为A的符号序列。其中=1，若；=0，若；，若。

对给定的序列，令为其对应的符号序列，定义的变号数为。并约定，时；若，同样。所以有如下推论：

推论：一个符号序列的变号数与去掉中所有0元素后得到新序列的变号数一样。

例1：求序列的变号数。

解1：对应的符号序列为，从而变号数。

定义：对于一个多项式序列和一个实数，则在处的变号数为 。

注：上式中可以取无穷远点，此时只需关注多项式序列中每一项的首项的正负号即可。

3 Sturm定理

由定理1知，存在一个正整数使得多项式的所有实根都在区间上。以下我们判断多项式在任意给定区间上的实根数目，现引入Sturm序列的定义及Sturm定理。

Sturm序列[3]：一个有限的多项式序列 称为多项式的Sturm序列，若满足以下条件：

1）是无平方的（没有重根）；2）若，则有；3）若，则有 ；4）的符号不改变。

可采用如下方法来构造Sturm序列：

这里和表示多项式关于多项式的余式和商。由于构造的多项式的次数满足，上述过程一定可以终止。并且最后一项是多项式和的最大公因子。

Sturm定理：设为一元实系数多项式，为的Sturm序列，对任意一个区间，记为在区间上的不同实根的个数，则有： 。

4 举例应用

例2：考虑多项式，试判断此多项式分别在区间，和上的实根数目。

解2：采用前一章Sturm序列的构造过程，得对应的Sturm序列，其中：

注意这里构造的Sturm序列中的多项式首项系数已约减为±1。由Sturm定理，在区间上的实根数目为：

；类似可得到和 。可以看出：多项式只有1个实根，另外有2个复根。

通常工程和数学计算中，多项式的形式会相当复杂、次数也会相当高，此时Sturm序列将很难手动计算。为实现高次多项式实根数目的判定，计算机代数MAPLE软件提供了计算Sturm序列和Sturm序列在相应区间的变号数的命令。分别如下：

给定多项式，命令计算对应的Sturm序列；再次调用命令计算多项式在区间上对应的实根数目。现分析下例高次多项式。

例3：考虑多项式：

，试判断此多项式在和上的实根数目。

解3：在MAPLE里调用得对应的Sturm序列：

，其中：

再次调用命令，得到在区间上的实根数目为2；调用命令，得到在区间上的实根数目为6。可以看出：多项式一共有6个实根，2个复根。

参考文献

[1]何青.计算代数[M].北京：北京师范大学出版社，1997.

[2]王东明，夏壁灿，李子明.计算机代数[M].北京：清华大学出版社，2007.

[3]王东明，等.多项式代数[M].北京：高等教育出版社，2011.