一道近似数的填空题背后……

姬少华

[摘 要]对于数学中的一些经典难题，学生总是缺乏“免疫力”，遇到必中招，屡做屡错，屡错屡犯。不论学生的基础知识有多扎实，教师讲解得多透彻，都难以从根本上扭转不利局面。其实欲速则不达，此类题目往往含有丰富的知识，需要一套逻辑严谨、程序规范的解法。

[关键词]道理；解题；近似数；四舍；五入

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）32-0037-01

在解答“有一个整数，精确到万位后是10万，这个数的最大值是（ ）。”时，学生做错的缘由不外乎两个：一是受取近似数的知识负迁移的影响；二是未能准确掌握“四舍五入”法的精义。找出错因后，教师就要对症下药，“大处着眼，小处着手”，有条不紊地摆事实，讲道理，再对原题进行深度剖析。如果教师阐释道理的时候过于急躁，就会造成学生出现纰漏，譬如有学生得出这个数的最大值是149999，而正确答案结果为104999。

一、从小到大，推进数理

教师不妨以70为例，让学生遍寻近似数为70的数，通过这一举措，让学生知晓近似数为70的数的实际值可能小于70，也可能大于70，这些数构成一个集合，分居70两端，可以用两个相邻的区间表示：[65，70）、（70，74]。以上策略利用了实例举证模式，让学生初步接触求近似数的覆盖范围的方法。如果教师这时匆匆收尾，回归原题，学生就会只进行粗浅的模仿，之后练习的错误率也就会很高。

为了帮助学生构造稳固且健全的知识体系，教师理应带领学生继续深化认识，细化思维过程，巩固知识点，形成系统的知识结构。

首先，教师列出近似数为70的所有整数，将它们在数轴上对应的点一一标出（如图1），让学生直观感知70左边的数全部“五入”，右边的数全部“四舍”，最后的结果都是近似得到70。

其次，教师提问：“精确到百位后是700的三位数有哪些？”有的学生一口说出大于700的数：“701、702、703……”有的学生想到小于700的数：“699、698、697……”师生共同探究得出近似数为700的三位数的最大值是749。即在大于700小于750的所有整数中，精确到百位都取值700。而寻找满足条件的最小三位数，势必要在小于700的区间里寻找，百位显然是6，用“五入”法得到近似数700，达到“五入”条件的最低限度是满足十位为5，个位为0。因此，满足条件的最小三位数是650。（如图2）

二、厘清思路，归纳步骤

教师指着数轴发问：“一个整数精确到某位后，得到的是整十、整百、整千等尾数为0的特殊数，那么可供近似取值的原始参数有多少？”学生回答有许多个。

教师要求学生总结求最大值的方法。学生经过思考，得出：最大值比近似数大，用数轴表示它在近似数的右侧，而且精确到哪一位，哪一位就和原数保持一致，除此之外，精确位的下一位一定是满足“四舍”条件的数字，只能取最大值4，其他各位数字应取最大值9。

教师继续提问：“求一个数的近似数时，哪个数位起关键作用？”学生答：“这要视精确位而定，如果精确到十位，关键数位就是个位；如果精确到百位，关键数位就是十位；如果精确到千位，关键数位就是百位……”

接着，学生以近似数为700的数进行阐述。因为百位以后各数位全为0，显然是精确到百位，于是就要看十位数，依据十位数的大小来判断近似方案。如果十位数是4、3、2、1、0中的任何一个，就采取“四舍”法；如果十位数是9、8、7、6、5中的任何一个，就采取“五入”法。至于个位上的数，就要根据需要而定，如果是“四舍”后的最大值，就取9；如果是“五入”后的最小值，就取0。

三、认知跃升，一举击破

学生有了以上清晰的认识，并对寻找一个近似的原数的最大值和最小值的方法作了程序梳理后，再回到原问题，解答时就不会只是单纯的模仿，而是深入思考，严密推理。

将一个整数精确到万位后是10万，那么这个数最大是（ ）。解答此题时，学生会顺着程序推想：最大值必然比10万大，也就是应在100000的右区里挑拣；近似数是10万，说明是用“四舍”法舍去尾数后得到的，即精确到万位，那么就要参考千位上的数值，要达到“四舍”的条件，千位必定小于5，最大只能是4，百位、十位和个位都可以取最大值9。于是可以推出這个数的最大值为104999，而不是149999。

当学生出现错误时，教师不能仅仅就题论题，将学生的错误当成个案处理，而要从理论上找到出错根源，疏通学生思维的障碍，让学生真正明白“是什么、为什么、怎么办”。

（责编 李琪琦）