《圆的标准方程》启发式教学设计与实录

赵勇

一、类比已知而缘起

师：我们在上一章学过，平面直角坐标系中，确定一条直线需要哪些要素呢？

生1：已知两点，或者一点和斜率。

师：很好，那如何确定一个圆呢？那在平面中圆的定义是什么？

生3：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

师：很好。让我们来画一个圆，选定一个定点，用绳子长做定长旋转一圈。确定一个圆需要哪几个要素？

生4：圆心和半径。

师：对。

二、知识生成与建构

师：下面我们建立直角坐标系，在坐标系中用代数方法把圆的这些几何要素表示出来。

在直角坐标系中，设圆心A为（a，b），半径为r，事实上，圆是满足以下条件的点的集合：P={MMA=r}

由两点间距离公式得=r，两边平方，化简整理得（x-a）2+（y-b）2=r2（*）

师：思考一下，圆A上的点是否都适合（*）方程？

生1：都符合。

师：为什么？

生1：根据推理过程，圆A上的点到圆心（a，b）的距离都是r，所以都适合（*）方程。

师：你理解得很好。那么，以（*）方程的解为坐标的点是不是都在圆上呢？

生2：应该是的。由（x0-a）2+（y0-b）2=r2，得=r，说明点（x0，y0）与圆心的距离为r，即点（x0，y0）在圆上[1]。

师：事实上，我们将（*）式中关于x，y的二元二次方程称为以（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程。

三、新知探究与拓展

例题1：写出圆心为A（2，-3），半径长为5的圆的标准方程。

生1：将圆心坐标与半径代入标准方程中去，就可以写出来。

生2：（x-2）2+（y+3）2=25

（投影习题、动手练习）

练1：写出经过点P（5，1），圆心为C（6，-2）的圆的标准方程。

练2：写出以线段PQ为直径的圆的标准方程，其中P（6，3），Q（4，9）。

练3：思考：方程（x-1）2=9-（y+3）2表示什么图形？

练4：思考：方程x2+y2=0表示什么图形？

师：好，下面我们继续，刚才在例题1中，我们知道，圆心为A（4，-6），半径长为3的圆的标准方程是（x-4）2+（y+6）2=9，那么现在大家判断一下点M1（5，-7）和M2（-，-1）是否在这个圆上。

生1：点M1在圆上，点M2不在圆上。

师：你是怎么判断的？

生1：将点的坐标代入圆的标准方程，如果满足方程，那么点就在圆上，如果不满足，就不在圆上。

师：完全正确。如果一个点不在圆上，怎么判断这个点是在圆内还是圆外呢？

生2：如果点在圆内，那么点到圆心的距离会小于半径，比如点（x0，y0）在圆内，那么

师：理解得非常准确。可不可以将刚才所讲述的操作简化一下？

生3：如果点（x0，y0）在圆内，那么（x0-a）2+（y0-b）2r2，点在圆上即为（x0-a）2+（y0-b）2=r2。

师：归纳得很棒。

四、合作钻研与提炼

师：我们前面系统地研究了圆的标准方程，并探究了平面内点与圆的位置关系。现在我们来看一个问题，如何由已知条件求出圆的标准方程。下面来看以下问题：

例：已知三角形的三个顶点的坐标分别为A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程。

师：下面自己思考尝试解决一下，然后分小组交流讨论一下自己解决问题的方法。

师：现在有请第一小组介绍一下他们的办法。

生1：每个三角形都有外接圆，圆心是各条边中垂线的交点。我们的办法是求解边AB、AC的垂直平分线的方程，然后求两条垂直平分线的交点，这样求出了圆心。求出圆心，然后选定一点A，求圆心到点A的距离，就是半径。所以就很容易写出圆的标准方程了。

师：问题解决得很好，大家想一下，他们解决问题是从哪里入手的？

生2：从“什么是三角形的外接圆”这个问题入手的。

师：对，这个方法可以叫做什么方法？

生3：几何法。

师：很好，本质上是从几何角度入手，求出圓心和半径，写出标准方程，还有没有别的方法？

生4：我们小组的办法是直接设方程，把点代进去。

生5：设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，将A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）代入标准方程，得到方程组。

师：很好。其实这个方法是从代数运算的角度入手的，所以我们可以叫它为代数法。

师：好了，下面我们邀请两个小组各派一名代表上黑板解答一下，其他小组的同学选择你喜欢的方法来解答。

师：……我们看到，运用代数法，进行待定系数的过程中，两个圆的方程相减进行消元，相减之后我们得到一个二元一次方程，根据前面的知识，这个二元一次方程表示什么？

生：表示直线。

师：对，我们看另一名同学求解的过程。大家看，这条中垂线方程跟刚刚消元之后的二元一次方程组是不是一样的？

生：是一样的。

生：为什么？

师：这就是两种方法的联系所在。代数法待定系数进行消元，两圆方程相减之后即为两圆公共弦所在的直线方程[2]。为什么？

生：两个圆的交点都在这条直线上，所以这条直线就是两圆公共弦的方程。

师：是这个道理。

练习：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆C的标准方程。

五、总结回顾出新知

师：好，我们总结一下，这节课我们学习了哪些新知识？

生1：圆的标准方程，点与圆的位置关系。

生2：求圆的标准方程的方法。

师：探究圆的基本要素→生成圆的标准方程→判断点与圆的位置关系→求解圆的标准方程，核心在于理解圆的两要素，运用几何法和代数法理解、求解圆的标准方程，运算很关键。

参考文献：

[1]苗庆硕.一道试题的多视角探究[J].中学数学教学参考（上旬），2015.

[2]吴和贵.新课标下的数学课堂教学过程的优化[J].数学通报，2007.