基于考研的高等代数教学模式研究

李小朝

（黄淮学院 数学与统计学院，河南 驻马店 463000）

近年来随着社会的发展和对高层次人才的需求，考研成为高校一个热点话题.高考发挥失常，考研可以弥补高考的缺憾，满足对著名高校的向往.就业压力太大，考研可以提升层次，提高竞争力.更有许多学生对数学有着浓厚的兴趣，心中有着许多疑问需要解决，考研成了必然选择.考研可以看作高品质的就业，更是实现自我价值和拓展上升空间的必由之路.高等代数是高校数学专业最重要的基础课之一，是后续专业课程的基础，也是考研必考科目.一些作者从不同角度对高等代数的考研进行教学研究.本文以黄淮学院数学与应用数学专业为例，探讨基于考研的高等代数教学模式的改革研究，所用教材为北京大学数学系《高等代数》第四版.

数学与应用数学专业2004年开始招生，至今已毕业十届，有许多学生考上研究生，考取学校有上海交通大学、华东师范大学、重庆大学等著名高校和普通院校.但是前两年考取研究生无论是学生数量，还是质量都有下滑的趋势，究其原因大概有以下几个方面.其一，作为地方普通高校，生源质量一般，学生成绩不是太好.其二，数学专业的高考一志愿率偏低，部分学生是调剂到数学专业的，对数学缺乏兴趣.其三，由于学校应用型的办学定位，理论课的课时压缩，使得高等代数等考研课程没有足够的课时保障.其四，由于理论性较强，一些重要的专业课，如近世代数、泛函分析等课程没有开设，学生初试与复试缺乏竞争力.鉴于诸多原因数学专业考上研究生的学生不太理想，学风有待提高.为了扭转这种被动局面，为学生考研提高更好的条件和保障，我们已经在教学指导思想、教学实施过程和教学评价等方面进行改革.

1 教学指导思想以考研为中心

1.1 提早动员，增强学生考研信心

由于很多学生数学成绩不好，加上数学理论偏强，学生学习数学有一定的畏难情绪.有的学生进入大学放松了对自己的严格要求，认为可以轻松一下，享受大学的美好生活了.这些导致一些同学大一大二没有准备考研，高等代数等学的不扎实，进入大三大四再想考研，已经非常被动.因此，我们从大一的入学教育，就开展考研的第一次动员，让学生认识到考研的重要性.进入大学不是终点，而是新的起点，让学生对未来充满憧憬和向往.在学习方法上给学生更多指导，以考研成功的学生作为榜样进行宣传，让学生感到考研并非遥不可及，经过努力，成功就在眼前.

1.2 增加学时，提高考研基本保障

课时是课程学习的基本保障，而专业课的学习是进一步研究的基础.在学校的总体要求框架内，修订人才培养方案，适当增加考研课程的课时，必要的专业课程都开设出来，为学生考研打下基础.在信阳一所兄弟院校的考研经验交流中，我有很大感触.在被问到有些理论比较难学生听不明白，是不是能一笔带过时，该校的一名老教授，也是领导掷地有声地说：该让学生明白的，必须让他明白，时间不够可以补课，可以利用晚自习给学生辅导，上习题课.又问到是不是有些课程理论性太强，能不能少开或者不开时，该教授语重心长地说：我们都知道数学学习是个积累的过程，没有学过那么多内容，就没有进一步研究的基础.他又说：该开设的课程，一门也不能少，否则即使初试通过，进入复试，还是不会被录取的.这些经验之谈，是我们在高等代数教学中需要贯彻的思想，我们也在往这方面努力.指导思想决定实施过程，所以我院也在全力为学生考研营造更好氛围.

1.3 建设精品课程，丰富教学资源

作为高等代数的教师，我们已经在建设高等代数校级精品课程，给学生广阔的学习空间.建设教学资源库，有高等代数的学习方法、授课课件、授课教案、习题库、部分教学视频、考研真题等，让学生可以自主学习，随时随地学习网络资源.同时我们还加强与兄弟院校的联系，分享好的教学方法与教学手段，共享教学资源等，给学生广阔的视野和丰富的资源.

2 高等代数的教学过程实施

数学与应用数学专业高等代数在大一下学期和大二上学期开设，大一下学期每周四学时，讲授前四章，即多项式、行列式、线性方程组和矩阵；大二下学期每周六学时，讲授后六章，即二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间和双线性函数.作为考研必考课程，注重每个知识点的讲解，即使选学内容也是如此.

2.1 高等代数知识点的讲解

一个基础知识点的学习，比如行列式，需要知道其产生的背景，也就是解方程组的需要，根据行列式可以确定特殊线性方程组的解，见克拉默法则.n级行列式的定义可以表示为

2.2 高等代数前后知识点的联系

单独知识点的学习还是比较容易的，高等代数作为一个整体，做到前后知识点的融会贯通是更重要的.比如第四章矩阵的教学，不但要把矩阵本身的性质讲授清楚，还要让学生明白矩阵和行列式运算性质的异同，理解矩阵和方程组解的关系.比如讲解线性空间这一章，其抽象的概念让一些学生无所适从，抓不到研究对象.其实线性空间概念来源于具体研究对象，它是许多不同研究对象比如多项式、矩阵、维向量等的公共性质抽象统一，把这些不同研究对象都涵盖进去.事实上多项式P、n维向量、矩阵等都构成具体的线性空间——多项式空间P[x]、P[x]n，向量空间Pn和矩阵空间Pm×n等.所以学习线性空间的其他概念和性质，都以这些具体空间为例子，来理解抽象的概念，作为进一步研究的基础.同时多项式、n维向量、矩阵等表面上看这些没有关系的研究对象，可以统一归结到线性空间的范畴研究[6].还有欧几里得空间的学习，欧几里得空间其实就是实数域上具有内积运算的线性空间.这样就能以点带面，通过线性空间的教学，让学生对高等代数中很多研究对象进行更深入的理解.

2.3 高等代数的习题讲解与辅导

作业是对所学知识的复习、巩固和升华，是学好数学必不可少的过程.每次布置完作业后，要求学生按时独立完成，并且认真批改.但是有些习题由于课本上没有相关的例题，学生会感到没有思路，无从下手，这些需要给学生适当的提示，让学生再做.多项式、线性方程组、矩阵等章的一些计算题计算量较大，比较复杂，需要让学生加强练习，提高计算能力.而高等代数习题的难点不是计算题，而是证明题，因为证明题需要对基本概念性质的熟悉掌握，清晰的思路，严密的逻辑推理.因此高等代数证明题的讲解至关重要，需要讲清楚相关知识点，分析出解题思路，告诉学生从何处入手进行证明.一些典型的习题结论，可以作为定理，在其他题的证明中可以直接应用.当然还有一些高校的考研真题，就是课后习题的变形或者推广.课后习题如果都会做，简单的考研题就可以较好完成.

2.4 高等代数的考核与评价

高等代数一般采用期末闭卷考试，形成终结性的评价方式，但这种评价方式忽略了学习过程的管理考核.方颖珏等研究了过程性评价的高等代数评价方式，给出多种形式的综合性评价.高等代数的学习要注重教学过程的管理，比如上课考勤、课堂提问、加强教学过程中的师生互动、布置作业、批改作业等，但是对于高等代数考研的要求，这还远远不够.例如上课有的学生尽管也在听讲，但是注意力不集中或者跟不上老师的思路；布置的作业有的同学只会机械的模仿，稍微与例题不同或者没有相关习题则无从下手，甚至有抄袭的情况等，这些情况直接反映为教学效果不好，达成度不高.因此基于考研的需要，高等代数的考核以学会为根本，加强练习.每节内容讲过后，布置一道相关内容的习题，让学生课堂上练习，随时检验学习效果，发现问题及时解决.每一章讲完后，进行阶段测验，还是以基础题型为主，检查整章知识的学习和掌握情况.最后是期末考试，在命题上在考查基本知识的基础上，加入一部分综合性的和一题多解的题型，考查学生综合运用知识的能力.把课堂测验情况和每章阶段测验情况结合，给出平时成绩，再结合期末考试成绩，按照一定比例，折合出高等代数的学期成绩.

3 高等代数选讲的教学过程实施

高等代数课程学习完之后，基础的知识、计算方法和简单证明都基本掌握了，但是与考研的要求还是有一定差距.为了学生更好的学习高等代数，数学与应用数学专业在大三上学期开设高等代数选讲课程，每周三学时.高等代数选讲的教学模式大概分为三步.

3.1 课本内容的复习巩固与归纳

进入大三高等代数选讲的学习，发现很多同学原本掌握的概念有的忘掉了，许多内容变得很生疏.这样需要对教材内容进行有效的复习巩固，当然又不同于大一高等代数的教学.对知识点的复习，要站得更高，立足整本教材或者整个高等代数来复习，对知识点归纳总结，分析在整本教材中的作用，讲清楚前后知识点的深层次联系.比如向量组极大线性无关组的讲解，不必再局限于这一个知识点，要把线性方程组的基础解系、线性空间的基等概念放到一起来复习，分析其概念的异同，起的作用都是用尽可能少的向量把所有的向量线性表示出来，当然线性方程组的基础解系也就是解空间的基.只有基本概念熟练掌握，对知识点的前后关系分析理解清楚，再结合适当的练习，证明题才能有思路并给出证明.

3.2 课后补充题与补充内容的讲解

高等代数课后补充题是对所学内容的进一步巩固，难度较大，并且由于课时所限，在高等代数的教学中没有讲授，我们在高等代数选讲的教学中来讲解这些补充题.这样学生对教材有更深入的理解和把握，对知识点的掌握也更好.在课本知识点和课后习题都做完之后，对高等代数的理解已经达到新的高度，但是仅仅这些应付考研还是不够，毕竟课本上的习题和方法思路有限，还需要补充一些题型.通过自己收集积累的资料，并与兄弟院校联系共享资源，在课后给学生布置一些新题型新方法的习题，让学生做了之后下次课再讲解.让学生多见识一些新的题型、新的方法和思路，并理解领悟，才会对考研题处理起来得心应手，取得好的成绩.

3.3 考研真题的讲解

高等代数的考研真题一般都来源于课本知识点，但是又高于课本，综合性较强，题型较为灵活.通过前期高等代数的学习和辅导，需要做些考研真题来检验学习的效果，查找不足.由于不同高校高等代数的考研题不同，命题的侧重点也不同，所以我们针对知识点来讲解一些不同学校的真题，增强学生对知识点的掌握，提高解决考研题的能力和信心.教学中不是以讲解某个考研真题为目的，而是要放眼整个高等代数内容，讲清楚来龙去脉和相关知识点的联系，寻找解题思路.当然也可以针对某所高校的高等代数考研真题，分析其命题的规律和考查的侧重点，提高学生考研复习的效率.

高等代数选讲是考查课，期末命题以综合性题型和一些高校的考研真题为主，考查学生实际处理考研题的能力.

4 后续考研辅导

在高等代数选讲课程结束之后，大三下学期和大四上学期共一年时间，没有高等代数的相关课程.在考前这一年里，学生高等代数的学习以自学为主，没有老师讲解或者详细辅导.于是我们给学生推荐钱吉林编写的《高等代数题解精粹》，让学生自主学习，把整本书做一遍.有的学生找老师问问题或者交流考研信息也不方便，于是我们给考研的学生建立QQ群和微信群，对学生共性的问题随时网上给以指导，对个性的问题进行单独辅导交流.报考前，指导学生要根据自己的学习情况结合高校的命题特点和难度，选择适合自己的高校，不要盲目地非名校不报.因为是地方本科高校，普通学生报考重点大学有一定的难度，往年都出现过离分数线差几分或者即使过线但是复试落榜的情况.在确定学校后，找往年的真题系统研究，分析命题规律和出题的侧重点，一般都是有迹可循的，这对最后高等代数考研成绩的提高起到画龙点睛的作用.还可以对具体问题进行解答，有的同学计算不出来或者证明没思路等，都可以通过QQ和微信等现代通信工具进行辅导交流.

5 结语

高等代数课程有一定的抽象性，它是提高学生计算能力、抽象思维能力的必要过程，也是进一步进行数学研究的基础.针对高等代数考研，我们进行了一些有益的尝试：提高学生和老师对考研重要性的认识；在学习方法上给学生指导；完善丰富教学资源，给学生提供条件；增加学时，给学生考研提供保障；开设必需专业课，为考研打下坚实基础；对具体问题进行详细解答.经过一系列的努力，高等代数考研情况会有一定改观.当然影响考研成绩和结果的因素很多，有许多问题需要我们深思，做进一步的研究探讨.