关于两类双单叶函数的系数估计

敖 恩

（1.赤峰学院 数学与统计学院；2.赤峰学院 应用数学研究所，内蒙古 赤峰 024000）

1 引言

用A表示所有在单位圆盘U={z∈C:|z|＜1}内解析且具有形式

的函数族.记S表示A内在单位圆盘U={z∈C:|z|＜1}内单叶解析函数的全体.用P表示在U内解析且形如同时满足Re{p(z)}＞0的函数全体,称其为正实部函数.另外，用 N 表示 P 内满足条件 ø(0)=0,ø'(0)＞0和 ø(U)为关于实轴对称的区域，且形如的函数的全体.

在文献[1]中，Koebe-1/4定理[1]得到了如下结论：对于每一个函数f∈S必存在一个逆函数f-1,满足

和

若f∈A和其逆函数f-1在单位圆盘U内都是单叶，则称函数f∈A在U是双单叶解析函数.用σ表示在U内双单叶解析函数全体.若f-1(ω),则

在文献[2]中,Robertson引进了拟从属的概念.设函数f(z),h(z)在单位圆盘U内解析,如果存在解析函数φ(z),使函数在 U 内解析且 |φ(z)|＜1 和 ω(0)=0,|ω(z)|＜1 满足

则称函数f(z)在U内拟从属于h(z),记为f(z)≺qh(z).特别地,当φ(z)=1时,f(z)=h(ω(z)),z∈U,称函数f(z)在U内从属于函数 h(z),记为 f(z)≺h(z);当 ω(z)=z时,f(z)=φ(z)h(z),z∈U.称函数 f(z)在U内优于函数h(z),记为f(z)≪h(z).显然，“从属关系”和“优化关系”是拟从属关系的特殊情况.

在文献[3]中,Lewin首次引入双单叶函数族σ,得到了如下结论：若函数 f(z)∈σ,则 |a2|≤1.51.在文献[4]和[5]中,对于函数f(z)∈σ先后得到了.最近几年,一些研究者利用拟从属关系定义与双单叶函数相关的一些重要子类,并研究相应函数类的起始两项的系数估计问题[6-9].受以上研究工作启发，本文利用拟从属关系引入了下面的两类双单叶函数:

则称f(z)∈Sqσ(γ,λ;ø),其中 γ∈C{0},0≤λ≤1，ø∈N,g(ω)=f-1(ω).

定义2若函数满足条件

则称f(z)Kqσ(γ,λ;ø),其中 γ∈C{0},0≤λ≤1，ø∈N,g(ω)=f-1(ω).

在本文中,利用复分析的一些方法和正实部解析函数的系数估计和分析技巧,研究了上述两函数类中函数的起始项a2和a3的边界估计，得到了全新的结果.

为了得到本文主要结果，引进关于正实部函数解析函数的系数估计.

引理[10]设

2 主要结果

除特别声明,本文规定

在U内定义函数p1(z),p2(ω)为

则函数p1(z),p2(ω)在U内解析，且p1(0)=p2(0)=1.简单计算可得

由解析函数 u,v:U→U 可得,函数 p1(z)，p2(ω)∈P.由(2.1)-(2.5)，计算可得

和

定理1设,则

和

证明由于则根据定义 1 和拟从属关系可知

和

将 f(z)=z+a2z2+a3z3+…和 g(z)=ω+b2ω2+b3ω3+…分别代入(2.10)式和(2.11)式左侧,通过简单计算可得

和

把(2.6)和(2.12)代入到(2.10),比较两边同次幂的系数可得

同理，把(2.7)和(2.13)代入到(2.11)式,比较两边同次幂的系数可得

由(2.14)和(2.16)得

由(2.15)和(2.17)得

若在(2.18)和(2.19)中利用引理,便可得(2.8)式中的|a2|的上界估计.

接下来，我们再讨论|a3|的上界估计.把(2.17)代入到(2.15)可得

再把(2.18)和(2.19)代入到(2.20)式,可得

和

利用引理，并结合(2.20)和(2.21)，可得出关于|a3|的估计式(2.9).定理1证毕.

定理2设,则

和

证明由于则根据定义 2 和拟从属关系可知和

和

将 f(z)=z+a2z2+a3z3+…和 g(ω)=ω+b2ω2+b3ω3+…分别代入(2.25)式和(2.26)式左侧,通过简单计算可得

和

把(2.6)和(2.27)代入到(2.25),比较两边同次幂的系数可得

同理，把(2.7)和(2.13)代入到(2.11)式,比较两边同次幂的系数可得

接下来证明过程同定理1类似，可得(2.23)式和(2.24)式成立.定理2证毕.