基于免疫离散粒子群算法的主动配电网PMU测量位置优化

李伟光，卢锦玲

(华北电力大学 电气与电子工程学院，河北 保定 071003)

0 引 言

在配网管理模式从被动向主动转变的背景下[1-2],配网的状态估计成为主动管理系统的重要组成部分。由于技术和成本的限制，我国配电网安装的PMU测量设备相对较少，这对状态估计结果的准确性有很大的影响[3]。为了使有限的测量装置在状态估计中起到更大的作用，需要对其安装位置进行优化，许多学者开始关注这一问题，并取得了一定进展。文献[4]使用线性规划和模糊理论结合的方法来确定量测的最佳数量和位置，但其研究的配网情况在我国并不完全适用。文献[5]用启发式算法来建立量测系统，但是这种方法不能给出解的绝对最优。文献[6]提出了增加最优量测的数量来提高状态估计精度的方法。文献[7]采用对预选量测进行评估来选出最优的安装位置，但该方法在复杂系统中的效率较低。文献[8]使用量子粒子群算法来解决量测位置的优化问题，但没有给出离散粒子跟新的具体方法。综合上述分析，大多数传统的方法将量测位置优化问题与状态估计分开考虑，这导致了状态估计精度提升效果不够明显。此外，随着配网规模的日益扩大，高效的优化算法能有效提高量测配置前期的工作效率。首先结合实时状态估计方法来建立量测配置优化模型，在此方法的基础上，提出了优化粒子初始位置的改进免疫离散粒子群算法(Immune Discrete Particle Swarm Optimization，IDPSO)来进行模型求解。最后通过算例仿真来验证了该方法的有效性及可行性。

1 实时状态估计方法

为满足DMS的要求，状态估计单元需在当前用户电气量测量不足的情况下提供准确的实时数据，采用文献[9-10]提出的配电网状态估计方法来建立实时数据库。

1.1 贝叶斯因子图建模

由于配电网满足本地马尔可夫属性，可以将电气连接作为一个贝叶斯网络来建模。定义状态向量为贝叶斯网络模型中的变量节点[11]。

文中的变量节点是由几个不同量测组成的状态向量，这些量测包括电压、电流、频率、相角、机械功率、光照辐射度和风速等。不同的变量节点可能包含不同的量测类型，例如节点与光伏电池相连时需取光照辐射度量测, 变量节点分为：(1)常规变量节点：电压相量Vk、电流相量Ik；(2)代表DG的变量节点：电压相量Vk、有功注入Pk、无功注入Qk。因子函数有：(1)fE描述了母线的电气关系，如KCL；(2)fL和fT分别是支路和变压器的因子函数；(3)fS和fW分别是基于时空关系的光照辐射度和风力的因子函数。具体因子函数见文献[9]，在此不做赘述。以简化的配电网模型为例，其贝叶斯因子图建模如图1所示。

图1 配电网的模型

它的配网的贝叶斯因子图见图2。

1.2 BP算法及其计算规则

BP算法借助于贝叶斯因子图能够推算出全局节点的边缘分布，也称作和积算法。这里使用的信息是通过单边或半边传递的概率密度函数。潜在判据ψi(xi)是已获观测值条件下的条件概率密度，反映了变量节点i当前的置信度。因子s到变量j传递的信息计算如式(1)，示例为图3所示。

(1)

式中α是概率表示的标准化系数；N(s)表示因子s的所有相邻节点。

图2 图1配网的贝叶斯因子图

图3 贝叶斯因子图的信息传递简图

1.3 量测位置优化模型

状态估计时，首先在状态初始化的基础上处理缺少的量测。对于负荷的建模，是从历史负荷曲线人工设置生成状态变量的先验分布。然后使用贝叶斯因子图对主动配电网建立时空模型，最后进行BP算法的迭代过程，得到各个状态变量的边缘分布。为了方便后面的优化计算，定义状态变量实时估计误差的绝对值之和为量测位置优化的目标函数S，具体表达式如下：

(2)

2 免疫离散粒子群算法

2.1 离散粒子群算法

粒子群优化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法中，所有粒子都有一个由最优化函数决定的适应值[12]。其中第i个粒子的位置与速度为一个与空间维数相同的多维向量。随着算法的进行，第i个粒子迄今为止搜索到的最优位置Pbest称为局部极值，粒子在飞行的过程中，需要不断按式(3)更新局部极值。从所有局部极值中选出的最优位置为全局极值gbest,如式(4)所示。

(3)

(4)

文中粒子位置表示量测在不同馈线的放置情况，故粒子位置为离散量。针对这一问题，采用离散粒子群算法(DPSO)来跟新粒子位置。如果把把算法中粒子的速度看做一个概率的集合，那么其位置等同于概率的向量，为了保证跟新后的粒子位置仍为0或者1，引入sigmoid函数来定义其位置的更新[13]，如式(6)，式(7)所示。这样我们仍然可以使用基本算法的简单结构在离散空间里搜索最优解。在每一代群体中，所有粒子都是通过控制局部和全局极值来调节自己的速度，如式(5)所示：

vid=ω*vid+c1r1(pid-xid)+c2r2(pgd-xid)

(5)

(6)

(7)

式中ri(t)为[0,1]内均匀分布的随机数；c1、c2为加速常数；r1，r2为[0,1]范围内的均匀随机数。ω为惯性权重因子，其值随迭代次数的增加而线性递减。由上述分析可以发现，当每个粒子都朝着当前的全局极值移动时，算法可能因为群体单一性而陷入局部极值中，针对这一问题，采取结合免疫算法的浓度机制来解决。

2.2 基于免疫的离散粒子群算法

免疫算法模仿了生物免疫系统的基本机制，当抗原入侵时，免疫系统会产生大量抗体进行抵御。现将所求的最优化函数及其约束条件看成抗原，其解看成抗体，那么优化算法求解的过程实际上就是生物免疫系统抵御抗原的过程[14]。若结合免疫系统的浓度调节机制来保证粒子群的多样性，就可以提高粒子群算法的全局搜索能力。故采用免疫离散粒子群算法(IDPSO)进行模型求解，其中第i个粒子浓度如下[15]：

(8)

基于抗体浓度的概率选择公式为：

i= 1,2,…,N+M

(9)

式中xi和f(xi)分别表示第i个粒子及其最优化函数。上面的浓度选择公式表明，在免疫调节中，浓度较低的抗体将会受到促进，相反浓度较高的抗体将会受到抑制。采用这样的处理方法可以显著提高粒子(抗体)群体的多样性。

2.3 免疫离散粒子群算法的改进

由图2配网的因子图模型可以发现，变量节点最少与一个，最多与两个因子节点相连，故在算法初始化群落时，可以采用优先将量测配置在相同两个因子节点相连的状态变量所在馈线的粒子初始化的方法，使较精确的实时量测数据发挥最大的作用。利用上述方法对初始量测位置进行优化，可以使粒子分布更接近全局最优位置，减少算法的迭代次数，进一步提高算法的全局寻优性能，有利于算法在规模更加复杂的系统中应用。

3 模型求解

在IDPSO初始化群落时，Xij初始化为1或者0，代表第i种情况(粒子)的第j条支路上放置或者不放置PMU量测，其为1的数量应与量测装置数量保持一致。当更新粒子时，由上节方法重新生成Xij(t+1)，从而保证新生成的粒子位置仍为离散二进制。算法流程如下所示：

(1)初始化粒子群的学习因子c1、c2，粒子(抗体)群体个数M，xid(t)、vid(t)和惯性权重ω；

(2)由上述方法产生M个粒子(抗体)初始位置xi及其速度vi，其中i=1,2,…,M；

(3)生成免疫记忆粒子(抗体)。计算与记录当前粒子(抗体)群体P中粒子(抗体)的适应值，并判断算法是否满足迭代次数的约束。如果满足则结束并输出结果，否则继续运行；

(4)更新局部和全局最优解，并根据式(5)，式(6)更新粒子速度和位置；

(5)产生N个新的粒子(抗体)；

(6)用群体中相似抗体百分比计算生产N+M个新粒子(抗体)的概率，依照概率大小选择M个粒子(抗体)形成粒子(抗体)群P，转入(3)。流程图如图4所示。

图4 免疫离散粒子群算法流程

4 算例分析

基于图5改进的IEEE-14配电系统进行分析，分别在算例系统支路7和支路9末端接入两个输出PQ类型的双馈式风力发电机，P=300 kW，Q=100 kvar。PMU量测向量由实量测和伪量测组成，以新型电力系统仿真软件GridLAB-D的潮流计算结果作为系统的真值，所有的量测量以潮流结果叠加随机量测误差得到，误差均服从标准差为0.04，均值为0的正态分布。以潮流计算结果加10%的高斯白噪声模拟伪量测节点的数据。权重矩阵设置为实数矩阵，其中实量测对应的权重较大，伪量测对应的权重值较小。又因主动配电网中分布式电源作为实时量测接入公共节点，使得该节点的量测误差变小[16]，所以对接入分布式电源的负荷节点，将对其重新设置权重，在给定输出上添加1%～3%的随机误差，权重设为1.0。设基准电压为23 kV，三相功率的基准值为100 MVA，将标准模型中的数据转换为标幺值，根据标准模型的数据可算出各支路功率。

设该配电网的PMU量测个数为4个，初始化粒子群内粒子个数为30个，Xij为0或1，其中i为粒子标号，j为该粒子的维度，为1的维度数受量测个数的约束。设迭代次数为50次，运行仿真程序11次结果如下，由图6可以看出每次运行程序时，横坐标对应迭代次数，纵坐标为相应的粒子群体全局最优位置对应的适应值。

图5 改进的IEEE-14配电系统

图6 算例仿真结果

由仿真结果可知，11次仿真的最优配置方案是相同的，其中粒子的全局最优解S为136.74%，对应的最优量测位置Fg=[1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1]，由上文所述馈线与量测位置的对应关系，可得出量测的最优安放位置为支路(1)、支路(3)、支路(9)、支路(13)。同时最优配置下的误差比随机配置中的最大误差196.35%减少了30.36%，可见，若将有限数量的量测随机配置，其状态估计误差将显著增加。经过该优化算法优化量测配置后，主动配电网状态估计的估计误差明显减小，估计精度提高。

随着配网规模的扩大，对优化算法的效率也有了较高的要求。为了比较算法的全局收敛性，在相同条件下采用基本离散粒子群优化算法进行11次仿真，结果如图7所示。

由图7可知，算法经过迭代后，均收敛于S=136.74%，最优解位置Fg=[1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1]，该算法仿真结果图中平行于横轴的曲线数量与长度明显增加，由此可知随着算法的进行，其陷入局部最优解的时间和次数不断增加。两种方法的迭代收敛次数对比如图8所示。

仿真结果表明，在相同条件下，文中方法的平均迭代次数6.64次，基本离散粒子群优化的平均迭代次数8.82次，可见，文中量测配置优化方法具有较好的收敛性。

图7 基本离散粒子群优化配置仿真结果

图8 两种方法迭代收敛次数

5 结束语

为了减小状态估计误差，使有限的PMU量测装置发挥最大的作用，结合实时状态估计方法，建立以状态变量估计误差绝对值之和最小为目标函数的PMU量测配置最优化模型。同时基于配网的因子图模型提出使用改进的免疫离散粒子群算法进行模型求解。最后通过在IEEE-14配电系统中进行算例仿真，表明了经该IDPSO优化后的PMU量测配置方案大幅提高了主动配电网状态估计的精度，验证了该方法的有效性。同时通过仿真对比，表明该方法具有更优秀的全局收敛能力。随着主动配电网规模的发展，该方法在优化量测配置，提高状态估计精度方面将有更大的发展空间。