基于改进GM（1，1）模型的装备故障预测*

逯 程，徐廷学，王 虹

（1.海军航空大学，山东 烟台 264001；2.中央军委联合参谋部第五十五研究所，北京 100094）

0 引言

随着现代工业技术的不断发展，武器装备在自动化与信息化水平得到快速提升的同时，其组成结构也日趋复杂，装备使用过程中所出现的各种故障问题使得后勤维修保障面临极大的挑战。实现装备故障率的准确预测不仅对备件的贮存策略具有重要指导意义，还能够为视情维修（CBM）决策提供有效支持，使装备满足规定的战备完好率要求[1-2]。

灰色预测模型是处理“小样本”、“贫信息”和“不确定性”问题的一种有力工具[3]，目前已在装备故障预测领域得到了不错的应用[4-7]。作为影响GM（1，1）模型预测精度和适用范围的关键因素，基于背景值构造形式的计算一直是灰色预测模型领域的研究热点[8-10]，但是现有的背景值计算公式大多计算复杂，且与背景值实际意义仍有一定差距。

基于以上不足，本文提出了一种基于背景值优化的改进GM（1，1）装备故障预测方法。该方法基于背景值的几何意义，从背景值与发展系数之间数量关系的角度出发，通过最小二乘法对二次参数进行估计，还原得到原始参数估计值，并结合新陈代谢对模型进行改进。通过某部队导弹故障预测实例证明了改进GM（1，1）模型的有效性和优越性。

1 传统GM（1，1）预测模型

设原始时间序列为[11]：

其差分形式（灰色微分方程）为：

微分方程中的参数向量为：

则待测参数的最小二乘解满足：

还原得到原始序列的预测公式：

从以上的过程可以看出，决定GM（1，1）模型预测精度的关键在于参数v和u的估计是否准确，而参数的最小二乘求解过程又与的构造形式密不可分。因此，构建精确的背景值计算公式对于提高GM（1，1）模型的预测精度，避免模型从连续到离散所产生的跳跃误差都具有重要意义。

将式（3）两边在区间[k-1，k]上同时进行积分得：

参数v，u在此形式下所求得的误差最小。

本文从推导背景值与发展系数v之间数量关系的角度出发，通过最小二乘法对二次参数进行估计，还原得到原始参数估计值，提供一种背景值优化新思路。

2 GM（1，1）背景值修正模型

2.1 背景值与发展系数v的数量关系

根据中值定理[12-14]可知，存在，使得满足：

因为在GM（1，1）模型中，通过指数形式对1-AGO序列进行近似，所以设，则上式为：

又根据背景值的几何意义有：

2.2 拟合误差最小化的GM（1，1）模型求解

将2.1节中新的背景值构造公式代入灰色微分方程，模型转化为：

化简得到：

首项系数归一化，进而得到：

该式称为GM（1，1）模型的变换式。利用最小二乘法对新参数向量进行估计，得到

其中

解方程组得：

思雨根本就无法进入休息状态。他又从贴身的衣兜里把那根长发丝纸包拿出来，打开纸包,他想再一次像审犯人那样把这根长发丝审视审视。这根栗红色的美丽的长发丝，蜷缩在白纸上，泛着青春的光泽，像一束美丽的光线一样，美极了，让人浮想联翩。这根长发丝，一定是长在一位青春靓丽的美女头上。杜思雨看着这根长发丝出神，由憎恨、审视渐渐变成了欣赏喜爱。

将还原得到的发展系数v与灰色作用量u重新代入GM（1，1）模型中的白化微分方程：

则方程的离散解为：

2.3 新陈代谢

3 故障预测实例

以某部队处于贮存状态的整批导弹为研究对象，一般情况下为满足一定的战备完好率要求，导弹每年会定期进行通电检测。本文以2007年～2016年共10个故障率数据（如表1所示）为样本对本文所提预测方法进行检验，前8个数据点进行拟合建模，后2个数据作为模型的预测效果分析。

表1 历史故障数据

对改进 GM（1，1）模型与传统 GM（1，1）模型进行故障预测建模，预测结果如表2所示，分别以模拟值、相对误差和平均相对误差进行比较分析。

由下页表2可以看出，不论是拟合建模还是预测阶段，基于背景值优化的改进GM（1，1）模型的精度都比传统灰色模型有了进一步的提高，其中拟合精度提高了2.29%，预测精度提高了1.58%；同时基于新陈代谢的优化模型减小了老信息点对模型精度的影响，随着预测进程的不断深入，新息数据对建模精度的优势将不断凸显。

4 结论

针对装备故障数据的“小样本”和“贫信息”等特点，本文利用灰色模型进行故障预测，并提出了一种基于背景值优化的改进GM（1，1）装备故障预测方法。该方法基于背景值的几何意义，从背景值与发展系数之间数量关系的角度出发，通过最小二乘法对二次参数进行估计，还原得到原始参数估计值，并结合新陈代谢对模型进行改进。导弹装备的故障预测实例验证了该模型的有效性和优越性。

表2 预测方法性能对比