可违约债券的现值推导：假定利率和违约强度服从Cox—Ingersoll—Ross过程

秦丝丝

摘 要：可违约债券定价模型在金融衍生品盛行的现今已大量存在。首先，假定利率和违约强度服从CIR过程，该过程可以捕捉到不确定过程的均值回归和条件异方差性，由于其利率和收益率都非负，其瞬时利率由非中心卡方分布表示，所以要优于Vasicek模型。但是，CIR模型的操作要难于Vasicek模型。最后，通过扩展了的D-S模型，通过引入随机过程作为可违约票据的部分持有成本，构造了有流动性风险的可违约债券价格，最大限度捕捉流动性风险的市场特征。

关键词：可违约债券；CIR模型；D-S模型

中图分类号：F830.91 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2018）23-0157-02

CDS（信用违约互换）作为信用衍生品的主流产品，同时也是金融市场上进行风险管理的新工具。2018年金融风暴的来袭提示着我们管理信用风险已成为当务之急。许多经济学家对CDS的定价模型做了不同的研究，一般在对参数做出一两个相关的假设后，模拟金融数据、模型的相关性以及定价的解。本文主要考察信用违约互换的定价模型，基于简化模型的原理，通过改变仿真参数，假设信用违约互换与利率之间的关系与违约强度之间的关系，借助均值方差对冲方法来研究违约风险，并通过自己的假设给出违约债券的定价公式。

文章从基本的D-S模型入手，该模型的基本思想是用调整后的短期汇率过程R=r+λ替代普通的短期利率过程r，然后利用无风险债券的定价模型推导出可违约债券的价值，基于Duffie and Singleton（1999）的风险中性概率：

V（t，T）=E （exp（- Rtdt）X）=E （exp（- rt+λtdt）X）

这里的X代表不发生违约时应该支付给债券持有人的报酬，本文将通过设定利率和违约强度都服从CIR过程来对该方法进行延伸。

令利率r和违约概率λ都服从Cox-Ingersoll-Ross过程，首先设置三个假设。

1.利率和违约概率都服从CIR模型：

其中，ab>0、αβ>0反应风险中立过程的平衡值，wr、wλ代表标准的布朗运动，ɑ、α代表均值回归的调整速度，θ、δ是瞬时方差。

2.无风险利率过程和违约概率过程不相关，意味着布朗运动wr和wλ也不相关。这个假设可以确保该模型最终得到一个显示表达式。

3.违约债券面值的恢复，即如果假定当违约发生时预期损失率w是一个外生变量，那么债券持有者可以得到（1-w）作为债券面值的一小部分。

基于以上假设和Duffie and Singleton（1999）可以得到含有定期付款违c的可违约债券价格：

V（r，λ，t）

=E [c exp（- rs+λsds）dt]

+E [exp（- rt+λtdt）]

+E [（1-w） λtexp（- rs+λsds）]（3）

第一部分表示到期日无违约事件发生的利润现值，第二部分表示到期日无违约事件发生的债券面值的现值，最后一部分代表违约发生时的回收价值的现值。为了得到该表达式的值，设置：

由边界条件F（T，T）=1，可以得到A（T，T）=1、B（T，T）=0。以上公式的解为：

A（t，T）=ln（ ）

B（t，T）=

h= （14）

由于无风险利率和可违约概率服从相同的过程，最终的解也应该相似，利用同样的方法设置：

M（λ，t）=C（t，T）exp（-D（t，T）λ）（15）

解为：C（t，T）=ln（ ）

D（t，T）=

m= （16）

接下来需要找到G的解，基于伊藤定理G（λ，t）应该满足：

从公式（6）得到G（T，T）=λ，假设：

G（λ，t）=[M（t，T）+N（t，T）λ]exp（-F（t，T）λ）（18）

边界条件为M（T，T）=F（T，T）=0、N（T，T）=1，F（t，T）的值类似D（t，T）的值。满足：

基于最初的三重假设可以得到可违约债券的值为：

V（r，λ，t）=c A（t，t）exp（-B（t，t）r）C（t，t）exp（-D（t，t）λ）dt+A（t，T）exp（-B（t，T）r）C（t，T）exp（-D（t，T）λ）+（1-w） A（t，t）exp（-B（t，t）r）（U（t，t）+V（t，t）λ）exp（-D（t，t）λ）dt（20）

实证文献已经证明，收益率不能完全被信用风险因素所解释（Hull、Predescu、White2004），流动性风险是收益率的另一种重要的影响因素。考虑到证券价格的流动性，低流动性的证券价格低，高收益可以补偿投资人的额外风险，超额收益被称为流动性溢价。此外，可允许流动性效应可以通过引入随机过程l作为可违约票据的部分持有成本，这里仅需要增加一个额外的项目：dl=？渍（？滋-λ）dt+g dwl（意味着流动性风险服从Vasicek模型），同时有：Q（l，t）=E [exp（- ltdt）]=K（t，T）exp（-Z（t，T）λ）

最后得到包含流动性风险的可违约债券的值，最初的方程（3）变为：

V（r，λ，t）

=E [c exp（- rs+λs+lsds）dt]

+E [exp（- rt+λt+ltdt）]（21）

+E [（1-w） λtexp（- rs+λs+lsds）dt]

这种情况下可违约债券的解为：

V（r，λ，t）=c A（t，t）exp（-B（t，t）r）C（t，t）exp（-D（t，t）λ）K（t，t）exp（-Z（t，t）l）dt+A（t，T）exp（-B（t，T）r）C（t，T）exp（-D（t，T）λ）K（t，T）exp（-Z（t，T）l）+（1-w） A（t，t）exp（-B（t，t）r）K（t，t）exp（-Z（t，t）l）（U（t，t）+V（t，t）λ）exp（-D（t，t）λ）dt（22）

对应的解类似于之前的模型。鉴于Duffie-Singleton模型的灵活性，这部分扩展了D-S模型，同时构造了有流动性风险的可违约债券价格。假定随机过程服从均值回归的平方根扩散，最大限度地捕捉流动性风险的市场特征。考虑到定价一个可违约债券的流动性风险可以更加准确地估量风险中立的违约强度，这有利于对信用衍生品进行准确定价。

本文通过从基本的可违约债券现值推倒模型入手，假设利率和违约概率都遵循Cox-Ingersoll-Ross过程，并结合基于Duffie-Singleton模型的面值恢复假设，来得到可违约债券的现值。另外，文章后续扩展了D-S模型，加入了在定价模型中存在流动性风险的情况下可违约债券的现值的解，这也是论证的新颖之处。

参考文献：

[1] Choudhry，M. （2006）.The credit default swap basis（Vol. 45）. New York，NY：Bloomberg press.

[2] Fouque，J. P.，Sircar，R. and S lna，K.（2006）. Stochastic volatility effects on defaultable bonds. Applied Mathematical Finance，13（03），215-244.

[3] Ericsson，J.，& Renault，O. （2006）. Liquidity and credit risk. The Journal of Finance，61（05），2219-2250.

[4] Fouque，J. P.，Sircar，R. and S lna，K.（2006）. Stochastic volatility effects on defaultable bonds. Applied Mathematical Finance，13（03），215-244.

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