笛卡尔方法论及解析思想在平面几何中的应用

李 旭

(辽宁省盘锦市辽河油田第三高级中学 124000)

方法论思想最初由法国数学家笛卡尔在《谈谈方法》一书中提出.在此摘取其中四条规则，作为本文讨论的核心.分别是：1.凡是我没有明确地认识到的东西，我决不把它当成真的接受；2.把我所审查的每一个难题按照可能和必要的程度分成若干部分，以便一一妥为解决；3.按次序进行我的思考，从最简单、最容易认识的对象开始，一点一点逐步上升，直到认识最复杂的对象；4.在任何情况之下，都要尽量全面地考察，尽量普遍地复查，做到确信毫无遗漏.结合高中考生所面对的问题，对以上四条简单说明.1.解决问题时只可用已知的定义、定理，不可盲目造定理；2.将完整复杂问题拆分成若干简单问题，逐个解决；3.分析条件，理清各对象之间的层级关系，最终将各低层级对象联系在一起解出题目；4.不可遗漏条件，检查.以下题为例，将上述理论思想用于实践.

题目如图，在△ABC中，AB=AC，I为△ABC的内心.以AB为半径作圆A，以IB为半径作圆I，过点B，I的圆与圆A、圆I分别交于点P、Q(不同于点B).设IP与BQ交于点R.证明：BR⊥CR.(2017年全国高中数学联合竞赛加试第一题)

解析题干中所涉及各几何元素父对象、子对象关系如下图：

证明思路是：将要证明的命题，转换为各路径对应的简单问题，利用解析知识逐个解决，最终利用斜率证得垂直关系.

解法如下：

⊙A:x2+(y-a)2=a2+1;

B(-1,0),Q(xq,yq),I(0,yi),P(xp,yp),

lBQ∩lIP=R,R(xr,yr),

在计算过程中， 参数为点A纵坐标a与圆Γ圆心横坐标xt，将其代入到方程组解中，得

经化简，kBR·kCR=-1,得证.

此解法与传统几何方法相比，思路较为简单清晰，但对应计算量较大，需要扎实的运算基础.两种解法各有利弊，在解题时可根据自身情况选择方案.