转化解题中的5大关口

王柄杰

(河南省商丘市第一高级中学 476000)

思想是行动的导航器,是行动的指路灯,在数学思想指引下的解题,必能产生“会当凌绝顶,一揽众山小”的感想,而转化思想又堪称几大数学思想之首,熟练地掌握它,是每一位考生追求的目标.那么如何才能实现这个目标呢?这就是搞清利用转化思想解题的5大关口,完成解题的转化.

关口1:利用消元完成转化

评析将两个变量的关系通过消元转化为一个变量求解, 其实数学的奥妙就在于此,一次不经意的转化,貌似偶然,实则必须.

关口2:利用补形完成转化

例2 已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( ).

图1

评析本题想法基于“三组对棱长度分别相等的四面体可以嵌入到一个长方体中”,但本题中四面体只有一对对棱长度相等,所以它只能嵌入到一个特殊的四棱柱(或平行六面体)中,转化成一个动态的儿何结构,通过体积计算把求体积最大值转化为求线段长度的最大值.

关口3:利用图象完成转化

A．-2 B．2 C．-1 D．1

图2

评析新的背景,老的问题.在确定了图象之后,即可寻求对称直线经过的定点转化，过程简约而不失机智.

关口4:利用分类完成转化

例4 过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线L,使L与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线L可以作( ).

图3

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

解第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有1条体对角线AC1；第二类：在图形外部和三条棱的夹角相等,有3条.合计4条.

评析整体突破较为困难,可以化整为零,各个突破.

关口5:利用平面完成转化

例5 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( ).

A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D. 双曲线

图4

解如图4,作出直线a,b的公垂线,平面α内动点P满足条件,过P作a,b的垂线段AB,垂足分别为M,N,有PM=PN.过P作直线b在平面α射影的垂线,垂足为C.

由于PA2=PM2+AM2,PN2=NC2+PC2,AM=PC,NC=AB(定值)得AB2=AP2-2AM2.

设AB=k,以A为原点,AM为x轴,AC为y轴,AB为z轴建立空间坐标系,设P(x,y,0),由AB2=AP2-2AM2得k2=x2+y2-2y2,即x2-y2=k2.显然所求轨迹为等轴双曲线.

评析从已知信息来看,直线a,b的相对位置是确定的,因此以a,b的公垂线为突破口,构建出可以利用的背景,得出了轨迹的约束条件.