数学“套路”似海深，你只是没找到登陆点

这三道题很有收藏价值。前两道题为平时作业中的基础题，但体现了很经典的思路。第三道题难度适中，是对先前思路的延伸拓展。在此分享给大家。

——重庆清华中学高2016级学生 王雅琪

立体几何是高中数学的重要组成部分，也是高考的热门考点，更是考查高中学生空间思维能力的有效工具，解题方法灵活多样。如果学生在平时学习中不断总结和反思，积累一些解题“套路”，定能在高考场上超常发挥，达到“事半功信”的效果。

——重庆市数学高级教师 罗学平

独白：学习数学，不仅仅是为了在高考时取得优异成绩，更重要的是学会将思维打开，激发出自己无限的智慧潜能。完美解决每一道数学题都是对自己的一种肯定。也正是这些“小成功”给了我不少鼓励，让我在一次次跌倒后又重新站起来。

爱好：画画、乒乓球

目标高校&专业：

北京大学/数学

每次数学试卷一发下来，总有同学在我耳边抱怨： “我的洪荒之力根本没有施展出来，这个题型的数学题我做过，我的计算也没有任何问题，就是没有注意到有个条件变了，哎呀，真可惜”

每次听到类似的抱怨，我都会想：这两道题真的是同一类型吗？之前所用的方法的立足点是什么？本题满足这个条件吗？

三道题“醍醐灌顶”

这里，我用我自己做過的三道题来举一个例子（详见前页笔记）

1.在三棱锥P-BC中，PA垂直于平面ABC，AB=AC=PA=2，且在△ABC中，∠BAC=120°，则三棱锥P-ABC外接球的体积为

2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球的直径且SC=4，则此三棱锥的体积为

3.已知边长为2

3的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A-BD-C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（ ）

A.25π

B.26π

C.27π

D.28π

第一道题相信大家都见到过套路如下：通过AB=AC=2，∠BAC=120°，算出BC=2√3，通过正弦定理，求出△ABC的外接圆半径2，再用勾股定理求出外接球半径（R²=r²+d²），剩下的就很简单了做完这道题，你会有一个粗略的印象：好像在一个三棱锥里边，有一条棱垂直于底面，底面三角形又已经确定，那么它的外接球的体积就很容易求出了.

第二道题也很简单，照搬题一的“套路”，所以第二道题助长了我的自信，这类题我不画图也能做出来

再看看第三道题.有了第一道题的“经验”和“印象”，当时的我自然而然地想到了第一道题的“套路”心想：小样儿，这还不简单如前页笔记图3-2所示，把这个四面体转一个面，△AFC已经确定，还有那条垂直于它的棱DB，和第一题的图几乎一模一样，这和我当初的“总结”完全相符这道题，用这个“套路”！图都不画了，拿笔就算

如果你也和我一样用了这个“套路”，恭喜你，选项里根本没有这个答案.再加之考试时间很紧，你心里又慌，干脆随便猜一个，心想一定是题目有问题.

后来，我将这两道题一起抄在了自己的错题本上，仔仔细细地研究了一番，最终恍然大悟点F根本就不在那个外接球上，也就是说，△AFC的外接圆半径根本就不是小圆的半径，糊涂呀！

再回头想想，如果当时不是因为自己做过“类似”的题，大意得连图都不画（画画图就会发现，如果点F在外接球上，直线DB又垂直于平面AFC，那么点D和点B去哪里了），这不契合的“套路”也不会继续用下去.

第一道题“套路”的立足点在于确定的这个三角形的顶点都要在外接球上，题二满足条件，而题三根本不满足.所以题一和题二同类，题三与它们都不同.

“套路”拐角，你可别跌了

我告诉大家自己这种愚蠢经历，其实是想说：数学“套路”很深，有些题看着不像，其实只是在“变脸”，本质是一样的：有些题看起来相似得像双胞胎，结果一点“血缘关系”都没有.

这就需要我们将学过的每一道经典例题反复琢磨，切不可丢了西瓜捡芝麻.学习需要一种“钻研精神”，与其各种“套路”都会点儿皮毛，不如玩好一种“套路”，这样就不会闹类似于我闹过的这种笑话

如何玩好一种“套路”呢？我的方法是分四步走：

需要有两道及以上类似思路的题目；

找出其中所有题目的相同点和不同点；

提炼出属于自己的“套路”；

记住“套路”.

如果你的“套路”不够全面，贸然使用“套路”就极有可能出错.在写好你的“套路”之后，不妨交给数学老师看看，相信他一定能找出其中有瑕疵的地方

做题的时候，该画图时一定要画图，不是说有了“套路”就可以一步登天数学题目是变化的，毕竟考试的目的在于查漏补缺，如果总是无法突破你的“套路”，那就没必要考试了，所以有了“套路”也不能大意

打怪在升级，“套路”在错题

随着学习的不断深入，各种圈套互相“勾结”，做数学题就像打“王者荣耀”，你刚消灭一个敌人，另一个就从背面来一个大招，功亏一篑！那么，怎样才能将各种“套路”烂熟于心，在考场上一路降妖除魔，取得高分呢？

方法其实很简单，你的错题本就是锦囊妙计.错题本上的题不在多而在精，不在是否会做而在是否有意义.

就像之前那三道题，我就将它们记在了错题本上的同一个地方，在记下这些题的时候，问问自己：我为什么要记下它？它能带给我什么？

数学学习是一个艰苦的过程随着我们更深入地了解与学习，未知也就越多.如果把你的已知画在一个圆里，你知道的越多，它的面积就越大.相随的，它所接触“外面”的未知也就越多.遇到挫折时，承认自己的不足，然后尽力学会它的“套路”，找到它的立足点下一次，绝不在同一个“坑”里摔倒.