具变指数黏弹性波动方程能量解的爆破

高云柱, 孟 秋, 郭 微

(北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013)

0 引 言

考虑下列具变指数非线性波动方程的初边值问题:

(1)

其中:Ω是N(N≥1)上的有界区域, 具有光滑的边界;α为非负常数; 指数函数p(x)和函数g(t)分别满足如下条件:

(H2)g:+→+为C1函数,η为正常数, 满足

当p为常数时, 关于问题(1)解的存在性和爆破性研究已有许多结果[1-5]. 近年来, 关于电磁流变学方面数学模型的研究受到广泛关注, 特别在变指数研究方面取得了许多结果[6-9]. 此外, 各种物理现象, 如一些波动模型、 服从非线性Boltzmann模型的纵向运动控制系统出现的问题等模型, 也取得了一些研究结果[10-13].

1 预备知识

设p(x)满足条件(H1), 则变指数Legesgue空间Lp(·)(Ω)是指所有可测函数, 使得

令

则空间Lp(·)(Ω)赋予Luxemburg范数

对任何正整数k, 取

Wk,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω):Dαu∈Lp(x)(Ω), |α|≤k},

Wk,p(x)(Ω)的范数定义为

易知Wk,p(x)(Ω)也是一个Banach空间, 称其为特殊的广义Orlicz-Sobolev空间.

引理1[9]设Φ∈C2([0,T))满足条件

(2)

Φ(t)≥0,Φ(0)>0,

并且

则

(3)

其中:

且Φ(t)满足

类似文献[11], 易得如下问题(1)能量解的存在性定理.

2 主要结果

首先, 定义解的能量函数如下:

其中

(g◇u)(t)=g(t-τ)‖u(t)-

记

下面给出本文的主要结果, 即能量解的爆破性定理.

则有式(3), 其中

且Φ(t)满足

证明: 对Φt(t)关于t求导得

将方程(1)第一个式子两边同乘以u, 并在Ω上积分得

即

(4)

将方程(1)第一个式子两边同乘ut, 并在Ω上积分有

即

注意到

对式(5)两边在(0,t)上积分得

整理得

其中

从而得

(7)

比较式(2)和式(7), 可知