浅谈弗雷格的“函数和概念”

张翠媛

摘要：1879年，弗雷格出版了《概念文字》一书。在对日常语言进行了大量的分析与研究后，弗雷格发现语言存在的缺陷，对此，他在《概念文字》中首次提出并引入了函数和自变元，以此来解释句子的逻辑结构。在《函数和概念》这篇论文中，弗雷格把概念解释为一种函数；在《论概念和对象》这篇论文中，弗雷格运用函数理论，说明了概念和对象的性质及相互之间的关系。弗雷格在这么多的地方提及他的函数理论，并将函数运用到逻辑学的讨论中，可见函数对弗雷格的重要性。

关键词：弗雷格 函数 概念 真值

中图分类号：O147 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2018）14-0246-03

函數在数学中的应用已有悠久的历史了，而函数作为工具在逻辑学中的应用始于弗雷格的概念文字。在《概念文字》中，弗雷格把句子分析为两部分，一部分是“固定的组成部分”，他称这个固定部分为函数；另一部分是“可由其他符号替代的符号”，他称这部分为函数的自变元，这样就解释了句子的结构。在《函数和概念》中，弗雷格详细分析和论述了函数的性质，指出函数最基本的性质在于函数自身是不完整的，不饱和的或是需要补充的。他还解释了他是如何把数学中的函数这一概念扩展到逻辑学中去的。说明函数“这个词并非一开始就有它后来达到的如此广泛的意义”。

一、函数及相关概念

在数学中有一种观点认为，x的一个函数被认为是一个包含x的数学表达式，一个含有字母x的公式。弗雷格认为，这种观点并不令人满意。因为根据它，我们可以说：“3·x2+x”是x的一个函数，3·32+3是3的一个函数，而这恰恰没有区分出形式和内容，没有区别符号与符号所表达的内容。于是弗雷格就对自变元、函数表达式或函数解析式这几种经常性表达逐一做了分析和研究，得出，“函数的真正本质就在那些表达式的共同因素之中”；就是说，在“3·x2+x”中除“x”以外还存在的东西之中，比如我们可以把它写成“3·（ ）2+（ ）”。括号表示一个空位，这说明，函数并不包括自变元，“x”这个符号只是用来表明自变元填入的位置，并说明需要填入的类型，即数。同时x也说明了可以填入的数字的普遍性。因此这就说明了函数的三个非常重要的特征与性质：（1）函数本身是不完整的，它是需要补充的、不满足的或不饱和的。（2）自变元不属于函数，它是完整的，是独立自由的整体，也就是说它是满足的。（3）函数和自变元不同，自变元不属于函数，但是，当满足的自变元填入不满足的函数时，它们就共同建立了一个完整的整体。对于“3·x2+x”这个函数解析式，如果用2作自变元补充它，结果就是“3·22+2”。由此可以说，14是2这个自变元的函数“3·x2+x”的值，因为“3·22+2=14”。因此便得出函数另一个非常重要的性质。（4）用一个函数的自变元填充这个函数所得到的完整的结果，我们称它为自变元的函数的值。

二、从函数过渡到逻辑

弗雷格根据“函数”在数学中的应用，归纳出它的四种基本性质。但随着科学的不断进步，弗雷格逐渐认识到函数不能仅局限于数学分析中，如果能够将这种数学分析方法扩展到对语言的逻辑分析中，那将会避免一些自然语言存在的缺陷。在意识到对函数扩展的重要性之后，他便将“函数”这一概念沿着两个方向进行了扩展，并用扩展后的“函数”对逻辑进行了刻画，从而实现了从数学公式到自然语言中句子的过渡。

（一）弗雷格沿着两个方向将数学中的函数扩展为逻辑中的函数

方向一：用于构造函数的运算方法的领域的扩展。除使用数学中常用的加法、乘方、乘法及其逆运算以外，还增加了不同种类的跨界运算。即引入了=、>、<这样的符号，这样便可以在x像以前那样代表自变元的地方讨论“x2=4”这样的函数。

对于扩展后的函数来说，它带有一个等号。带等号的函数和不带等号的函数是有很大的区别的，比如x2+y2=1和x2+y2是两个不同的函数。带等号的函数表示的是一个等式，而等式的语言形式是一个断定句。这样的一个断定句就含有一个思想作为它的涵义（或者它至少要求含有一个思想作涵义）；这个思想一般是一个真值；换句话说就是，这个思想一般是真的或者是假的。同样，我们可以把这个真值当作这个句子的意谓，就像4这个数是“2+2”这个解析式的意谓，或者柏拉图是“亚里士多德的老师”这个表达式的意谓一样。

方向二：由于采用了复数，可以作为自变元和函数值出现的东西的范围得到了扩展。

首先，是对自变元的扩展。比如引入了一般的对象做自变元，特别是引入像“亚里士多德”这样的专名做自变元，这样就可以谈论数以外的一般事物，而不是仅仅限于谈论算数句子。如谈论并探讨一般的语句，进而谈论一般的概念和对象，这便实现了从数学语言到自然语言的过渡。而且此外，可以考虑以真值做函数的自变元，也就是说，以真或者以假作自变元。

其次，就是对函数值的扩展。弗雷格用了一个例子说明了这一点。假设我们有x2=4这样一个函数。现在我们分别用-2、-1、0、1、2来带入自变元x，我们就得到

在这些等式中，第一个和第五个是真的，其他都是假的。因此弗雷格说：“我们的函数值是一个真值”。真值一共有两个，一个是真这个真值，一个是假这个真值。因此（-2）2=4和22=4意谓相同的东西，都是意谓真，而（-1）2=4、02=4和12=4意谓相同的东西，都是意谓假。弗雷格还指出意谓的相同并不导致思想的相同。所有函数只以真和假这两个值做真值，我们就得到函数的另一种性质：一个带等号的函数的值总是一个真值，即它的值要么是真，要么是假。

（二）用扩展后的函数刻画逻辑

（1）对命题逻辑的刻画。首先，弗雷格引入了真值函数──x。他规定，如果以真做自变元，则此函数的值应该为真，而在所有其他情况下，此函数的值为假，即当自变元为假或者没有真值的时候，这个函数的值为假。例如：——2+4=6。

2+4=6的意谓是真，这说明此函数是以真做它的自变元，所以根据弗雷格给出的真之条件我们可以判断在这种情况下，──x这个函数的值应该是真。如果要对此函数作出断定，那么就可以把它写为：┠——2+4=6。这等于是说：断定2+4=6。也就是说，2+4=6是真。

——2+4=5。2+4=5的意谓是假，这说明此函数是以假做它的自变元，根据此函数的真之条件我们可以推断在这种情况下，──x这个函数的值应该是假。如果要对它作出断定，即对它的真假作出判断，那么就可以把它写为：┠┬—2+4=5。

这等于是说：断定并非2+4=5。这也等于说，2+4=5是假。

——6。6是一个阿拉伯数字，它没有真值，即它既不是真的，也不是假的，这说明6这个自变元没有真假，因此──x这个函数的值应该为假。

其次，逻辑中“非”的刻画。弗雷格引入否定杠，即─┬─x。他将此函数理解为一个带有──x这个自变元的函数，将否定杠左边和右边这两部分横杠理解为水平线。他规定：如果─┬─x以真做自变元，则此函数的值应该为假，而在所有其他情况下，此函数的值为真，即当自变元为假或者自变元没有真值的时候，这个函数的值为真。例如根据这种理解，

─┬─22=6意谓是真，并且我们可以加上判断杠：┠┬─22=6。以此我们可以判定，22=6不是真的，或者22不是6。但是—┬—3意谓也是真，因为3是一个数字，它没有真值，┠┬—3，断定：3不是真。

（2）对谓词逻辑的刻画。弗雷格说“概念——如同我对这个词的理解——起谓述作用。”他对这句话进一步解释为概念实际上是语法谓词的意谓。对此，弗雷格将一个句子分为语法主词和语法谓词两部分，而语法谓词的意谓是概念，所以概念具有的逻辑特征语法谓词也具有。在此基础上，他便建立了他的一阶谓词逻辑系统。

首先，弗雷格刻画了单称命题和关系命题。单称命题，如“北京是中国的首都”，用符号表示为Fa，其中F表示“是中国的首都”，a表示“北京”。读作“a具有性质F”。关系命题。如“张三是李四的朋友”，符号表示为Rab，其中R表示“a是b的朋友”，a、b分别代表“张三”和“李四”。读作“a、b具有R关系”。

其次，弗雷格刻画了全称量词。比如对“所有的哺乳动物都是有红血的”这样的全称命题的处理，用现代符号可以表示为“ ”，读作“对所有的x来说，如果x是哺乳动物，那么x就是有红血的”。其中，H表示谓词“是哺乳动物”，B表示谓词“是有红血的”。“所有的哺乳动物都是有红血的”这个陈述不是关于所有的哺乳动物的陈述，而是关于函数“如果x是哺乳动物，那么x就是有红血的”的陈述。这就是弗雷格对全称量词的刻画。

最后，弗雷格还对存在量词进行了刻画。例如“有的乌鸦是白的”，用现代符号表示为“ ”，读作“至少存在一个x，x是乌鸦，并且x是白的”。其中，F表示谓词“是乌鸦”，G表示谓词“是白的”。“有的乌鸦是白的”这个句子并不是作出關于有的乌鸦的陈述，而是关于函数“x是乌鸦，并且x是白的”的陈述。这就是弗雷格对存在量词的刻画。

三、函数理论对逻辑学的意义

弗雷格经过对函数进行了两方面的扩展之后，使得对数学语言的分析过渡到了对自然语言的分析，这便达到了弗雷格最初引入函数概念的目的。

（一）概念和函数

弗雷格认为“逻辑中称为概念的东西与我们称为函数的东西十分紧密地联系在一起”。比如，函数“x是德意志帝国的首都”，对于自变元柏林来说，柏林是德意志帝国的首都为真，即函数值为真；对于自变元华盛顿来说，华盛顿是德意志帝国的首都为假，即函数值为假。也可以说：柏林属于德意志帝国的首都这一概念，而华盛顿不属于。由此弗雷格得出“概念是一个其值总为真值的函数”这一结论。从弗雷格对概念的这个说明可以看出，为了理解概念，必须理解函数，必须理解真值。也可以说，他是通过函数来说明概念的。

在弗雷格分析的函数的基本性质中，最主要的性质是：函数是不完整的，不满足或不饱和的，需要补充的。所谓函数是不满足的，是指函数表现了这样一种逻辑结构，在这种结构中带有空位。最简单的函数是带有一个空位的。因此，如果把概念看作函数，概念也要表现出这样的一种逻辑结构。比如我们说：“亚里士多德是哲学家。”“柏拉图是哲学家。”“凯撒大帝是哲学家。”这三个句子都有一个共同的部分，就是“……是哲学家”。根据弗雷格的思想，这个共同的部分就是相应于函数的概念。我们也可以把它写为“（ ）是哲学家”，或者“x是哲学家”。

括号表明了这个概念是不完整的，同时也标明了需要补充的位置，证明概念的不满足性。如果我们以单称词或专名当作自变元来填充它，就会使它满足，由此得到一个完整的句子。比如，我们如果把“亚里士多德”“柏拉图”和“凯撒大帝”分别代入这个概念，就得到上面三个句子。这就表明，概念具有函数的基本性质，即概念是不完整的，不满足或不饱和的，是需要补充的。

在以单称词或专名作自变元填充概念的过程中，像“亚里士多德”这样的专名意谓个体的人，意谓对象，就像个别的数是对象一样，因而是完整的、独立的整体。概念虽然是不满足的，但是用专名做自变元代入以后，就得到了一个完整的整体，即句子。因此满足了函数的1、2和3这样的性质。

弗雷格对函数性质进行了扩展，因此他还得出了另一个重要的结论，即函数等式的值总是一个真值。于是，弗雷格引入等号，就从一般的函数过渡到句子。例如，“（ ）征服高卢”是一个概念。我们用一个专名填充它，就可以得到一个完整的句子。如果我们以“凯撒”来填充它，就可以得到下面这个句子。“凯撒征服高卢”。

这个句子的真值是真。如果我们用“亚历山大”做自变元来补充它，就得到下面的这个句子。“亚历山大征服高卢”。这个句子的真值是假。因此可以说，概念也具有函数的第五种性质。

通过上述分析我们可以看出，弗雷格所说的概念是与句子紧密结合在一起的。它表现为句子的一部分，并且是不完整的一部分，用完整的对象补充它之后，就可以得到一个完整的句子，这个句子还要有思想作为它的涵义，真值作为它的意谓。因此也就可以解释弗雷格为什么说一个概念是一个其值总是一个真值的函数。

从函数的性质4和5我们可以发现，函数在函数值方面存在着差异。“x2+y2”和“x2+y2=z”都是函数，它们的值却不同。“x2+y2”的函数值是数，而“x2+y2=z”是一个句子，它的函数值是真值，即以真或者假为值。用任意数字代入x和y，“x2+y2”得到的总是一个数，无所谓真假，即它的函数值不是真值。比如“12+22”以5为函数值，“22+32”以13为函数值。而对于“x2+y2=z”的自变元的代入就不是任意的，因为代入不同的数会导致真值的不同。比如用1、2和5分别代入x、y和z，就得“12+22=5”，它的函数值为真。若用2、3和10分别代入x、y和z，就得“22+32=10”，它的值为假。所以“x2+y2”和“x2+y2=z”是两种不同的函数。

（二）性质和关系

函数的种类有很多，但根据自变元个数的不同，可以把函数划分为一元函数、二元函数和多元函数。用这个理论来分析自然语句，可以得到：一个一元函数，例如，“亚里士多德是哲学家”。这个句子可以分析为“亚里士多德”和“x是哲学家”两部分。其中“亚里士多德”是完整的，做自变元成分。“x是哲学家”是不完整的，需要补充的，所以是作为函数部分。弗雷格称这样的一元函数为概念。一个二元函数，例如，“亚里士多德是柏拉图的学生”。这个句子可以分析为“亚里士多德”和“x是柏拉图的学生”两部分。再进一步分析，“x是柏拉图的学生”又可以分为“柏拉图”和“x是y的学生”这样两部分。所以这个二元函数就分成了“亚里士多德”“柏拉图”和“x是y的学生”这样三部分。其中“亚里士多德”和“柏拉图”是完整的，自变元分别代入x和y。“x是y的学生”是不完整的，需要两个自变元来填充，所以它是函数。弗雷格称这样的二元函数称为关系。

（三）概念层次

由于数是对象，对象是完整的，满足的，而概念是不饱和的或不满足的，需要补充的，所以对象和概念是根本不同的东西。由于对象与概念是根本不同的东西，因此以对象为自变元的函数和以概念为自变元的函數也是不同的。于是，弗雷格根据自变元种类的不同，把函数区分为第一层函数和第二层函数。拿一元函数来说，一个第一层函数，它是以对象为自变元的，例如，x是哲学家。它是一个包含一个自变元的概念。在自然语言中，概念起谓词作用。它表示：一个对象x处于哲学家这个概念之下。而一个第二层函数，它是以概念为自变元的，例如，所有的人都是有死的。在这个函数中，自变元为所有的人，它表示对于所有的事物，如果它是人，那么它是有死的。在自然语言中，这是对量词的刻画。它表明：一个概念处于第二层概念之中。

在二元函数中，一个二元函数可以与自变元有同层关系或者有不同层关系，即同层函数或不同层函数。迄今我们所考虑的是同层函数。微商是一个不同层函数，例如如果将微分函数和被微分的自变元做自变元，或者，定积分是一个不同层函数，例如只要将积分函数和上述限定作自变元。同层函数又可以划分为第一层函数和第二层函数。例如，F（f[1]）是这样一个第二层函数，这里“F”和“f”指示自变元。

四、结语

弗雷格在这篇论文中谈到“逻辑中称为概念的东西与我们称为函数的东西十分紧密地联系在一起。人们确实可以说，一个概念是一个其值总是一个真值的函数”。他还谈到以专名做自变元的扩展，并相应地谈论了它们之间的关系。但是他的论述基本集中在函数的性质方面。

从形式上讲，弗雷格的概念具有的最大特点就是它的不饱和性。这种不饱和性需要用对象对其空位进行填充，才能够建立一个完整的整体。这与数学中的函数非常相似。

从作用上来说，弗雷格的函数理论对现代语言哲学的发展作出了巨大的贡献。弗雷格概念理论在概念文字中所做的就是使句子表达更精确和更普遍，这为语言哲学分析提供了新的分析方法，为当代语言哲学开辟了一条新道路。

参考文献：

[1]（德）弗雷格.弗雷格哲学论著选辑[M].王路译，王炳文校.北京：商务印书馆，2013.

[2]王路.弗雷格思想研究[M].北京：商务印书馆，2008.

[3]张燕京.真与意义——达米特的语言哲学[M].保定：河北大学出版社，2011.

责任编辑：杨国栋