对变轨过程常见错误认识的反思

夏季云

关键词：问题；定态；过程

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）7-0060-3

關于变轨问题的过程分析，受经验及习惯性思维的影响，无论是教师还是学生，在学习中往往不能很好地区分。

1 问题的由来

问题一：《物理教学探讨》2013年第8期刊载的《圆周运动中的圆锥摆模型》一文[1]。

原文如下：一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度ω做匀速转动，在圆锥筒内壁的A处有一质量为m的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图1，当圆锥筒的角速度增大时，则小球到锥底的高度、回旋半径、向心力分别如何变化？

解析 小球受两个力mg、FN，mscotθ=mω2r，角速度增大时，由于角度不变，故向心力不变，回旋半径r减小。小球到锥底的高度降低。

点评 本题不属于圆锥摆模型。圆锥摆模型是当角速度发生变化时， 圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变。

问题二：2016年南通一模物理最后一道选择题在教师中引起了较为广泛地讨论。

（南通原题）9.如图2所示，光滑杆AB与竖直方向的夹角为θ，质量为m的小球套在杆上，球在杆上C点随杆一起绕竖直轴OO'以角速度ω转动，则（ ）

A.m减小后，小球仍在C点随杆转动

B.m减小后，小球在C点上面的某位置随杆转动

C.ω增大时，小球沿杆滑动且杆对小球不做功

D.ω增大时，小球沿杆滑动且杆对小球做正功

在一市级高三物理教师QQ群中，老师们对该题进行了广泛地交流与讨论，意见不能一致。摘取片断如下：

王老师：初始状态是水平面内的匀速圆周运动，转动加速，小球沿杆向上运动。考虑沿杆的方向：此方向速度增加了，力呢？弹力垂直杆，不垂直合速度，这是肯定的。但是，杆子是什么形态？

张老师：橡皮筋拴着的小球在水平面内运动，使小球加速，半径加大，但向外方向上没有力啊？

秦老师：橡皮筋圆心必须移动，但刚性杆的弹力方向可以瞬变。

史老师：水平面加速度分解如图3。

从老师们的讨论中不难发现，对这个问题的解释大家还是存在一定的困难。

2 对上述两个问题的剖析

问题一：这个解析笔者认为是错误的。理由如下：由于圆锥筒内壁光滑，当圆锥筒的角速度增大时，小球的角速度不会随之变化，仍在原轨道上做匀速圆周运动。若要让小球在回旋半径r减小的位置稳定地做匀速圆周运动，必须通过其他途径让小球的角速度变化到一个更大的值且让它在相应的圆轨道上稳定运动，即在外界作用下由一个特定状态（稳定态）变化到另一个特定状态（稳定态）。

问题二：对于老师们的讨论，笔者总结了他们理解中存在的困惑，大致如下。

（1）杆角速度增大时，做离心运动，球被甩出，沿杆方向的加速度是什么力提供的？难道杆的弹力可以不垂直于杆？做功又怎么解释？

（2）如果瞬间加快了一下，经过一个短暂的调整，上升一定高度，若能进入另一个稳定状态，按理半径要变大，但这不符合定态理论分析的结果。

笔者认为由于小球套在杆上，基于实验经验不难发现，若杆的角速度ω增大，小球将飞离杆，若杆的角速度ω减小，小球将滑到杆的底端。

3 正确理解定态分析及变轨的过程分析

结合上述两个问题逐一进行分析。

问题一中，若将“当圆锥筒的角速度增大时”改为“圆锥筒的角速度分别为ω1和ω2时”。若小球做匀速圆周运动，按照例2中的解释是没有问题，但“当圆锥筒的角速度增大时”表达的是一个变化的过程，由于圆锥筒的内壁光滑，圆锥筒的角速度ω增大，小球的ω不会改变。因而该题的结论是有问题的。

问题二中A和B选项，小球套在杆上，球在杆上C点随杆一起绕竖直轴OO'以角速度ω转动，m减小后，根据定态（匀速圆周运动）处理方法知，如图5，小球受到指向轨道中心的合外力与小球按照原运动状态需要的向心力同步变化且一致，即平衡条件与质量无关，因而小球仍在C点随杆转动。

问题二中的C和D选项，小球套在杆上，ω增大时，小球按原来的状态做匀速圆周运动的平衡被打破，不能根据定态（匀速圆周运动）处理方法求解，只能按一般曲线运动的处理方法求解。

首先，要明确小球参与了两个分运动，一是水平面内的离心运动，二是竖直面上升（上抛运动）。其次，小球受到的弹力一定垂直于杆，但不指向轴线，它与杆和轴线决定的平面存在一个夹角，该力可分解为垂直于“杆和轴线决定的平面”和沿该平面（垂直于杆）的两个分力，沿杆的方向往下看力的分解如图6，在“杆和轴线决定的平面里”的分力N1再分解为水平力N11（指向轴心作为向心力）和竖直力N12（大于重力让小球上升），在杆和轴线决定的平面里力的分解如图7。再次，变化过程中弹力N2对小球做正功，重力对小球做负功，N12做正功，由于G

参考文献：

[1]赵怀彬.圆周运动中的圆锥摆模型[J].物理教学探讨，2013，31（8）：45-46.

[2]何玲，黎加厚.促进学生深度学习[J].计算机教与学，2005（5）：29-30.

（栏目编辑 罗琬华）