不等式证明方法的探索

蔡燕斯

【摘要】不等式渗透在数学的各个领域，是研究高等数学的重要工具.初等数学证明不等式主要采用比较法、综合法、反证法、配方法、放缩法、判别式法、换元法、利用“1”的代换法、数学归纳法等.在证明过程中利用基本不等式的性质，结合函数和数列的综合知识.高等数学证明不等式主要将函数的导数作为关注点，从函数的单调性、凸性、拉格朗日乘数法、泰勒公式、微积分中值定理等不同层面对证明不等式的方法进行探讨.

【关键词】凸函数；不等式证明；方法探究

不等式证明在高等数学中占有重要的地位，是教学过程中的一个重点，也是学生学习的一个难点.下面列举了几个重要的不等式，将函数的导数作为关注点，从函数的单调性、凸性、拉格朗日乘数法、泰勒公式、微积分中值定理等不同层面对证明不等式的方法进行探讨.

一、利用函数的导数

（一）利用函数的单调性

利用函数的一阶导数证明不等式，關键是构造函数，判断其在相应区间的一阶导数的符号，根据符号得出函数在相应区间的单调性来证明.

（二）利用函数的凸性

利用函数的二阶导数证明不等式，关键是构造函数，判断其在相应区间的二阶导数的符号，根据符号得出函数在相应区间的凸性的定义来证明.

（三）利用函数极值、最值

将要证明的不等式转化为求极值和最值问题，按照函数求极值和最值的方法证明，此方法一般适用于不等式的一边是常数.

（四）利用拉格朗日乘数法

当所证的不等式含有两个及两个以上变量时，可利用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的方法，选择合适的目标函数和约束条件.如果没有明确告诉约束条件，通常把不等式的“一端”作为目标函数，而将“另一端=常数a”作为约束条件[1].

六、结束语

证明不等式的方法多种多样，根据待证不等式的特点，找到适合的方法可使问题迎刃而解.只有掌握高等数学的基本理论和方法，才能熟练掌握其中的技巧，简便快捷地解决不等式的证明问题.

【参考文献】

[1]吴凤珍.不等式证明的高等数学方法研究[J].四川文理学院学报，2013（2）：10-13.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]杨丽英.柯西不等式的证明及应用[J].内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2013（1）：16-20.