前缘曲率变化对平板边界层感受性问题的影响∗

沈露予 陆昌根

(南京信息工程大学海洋科学学院,南京 210044)

1 引 言

边界层内层流向湍流转捩的过程是自然界中普遍存在的物理现象,同时也是一个相当复杂的物理过程,它受到自由来流湍流、前缘曲率、壁面粗糙以及声波扰动等各种因素的影响.其中,感受性阶段是层流向湍流转捩的起始阶段,诱导产生的不稳定扰动波的幅值、相位、色散关系以及形状函数等初始条件[1]是边界层转捩预测与控制的关键参数;这些参数对飞行器、船舶以及车辆等工程设计至关重要.边界层感受性问题一般可分为前缘感受性和当地感受性[2,3].前缘感受性是由于平板前缘附近区域非平行性与外界扰动作用在边界层内被激发出不稳定扰动波的物理过程;当地感受性则是由自由来流扰动与壁面局部粗糙或吹吸相互作用激发边界层内被诱导不稳定扰动波的感受性过程.Goldstein[4]和Ruban[5]基于三层结构渐近理论在声波扰动与壁面局部粗糙相互作用下验证了边界层当地感受性机制是存在的.随后,在Goldstein[4]和Ruban[5]渐近理论的基础上,Crouch[6],Choudhari和Streett[7]采用有限雷诺数方法研究声波扰动与壁面局部吹吸、粗糙作用下在Blasius边界层内激发不稳定Tollmien-Schlichting(T-S)波的感受性机制,并且发现激发产生的TS波幅值与自由来流声波幅值和壁面粗糙高度都呈线性关系;Bertolotti[8]同样采用抛物化稳定性方程证实二维和三维涡扰动与壁面局部粗糙相互作用下Blasius边界层内当地感受性机制是存在的.

Goldstein等[9,10]对前缘感受性问题进行了系统的研究,采用高雷诺数方法来揭示声波扰动作用下无限薄平板边界层前缘感受性机制,计算获得了相应的前缘感受性系数.Goldstein和Wundrow[11]采用渐近分析法研究了涡扰动作用下有限厚度平板边界层前缘感受性问题.Heinrich和Kerschen[12]研究发现具有一定入射角的声波扰动所激发边界层内被诱导的前缘感受性系数要大于平行于流动方向的声波扰动所激发边界层内被诱导的前缘感受性系数.我们之前也研究了自由来流湍流作用下无限薄平板边界层前缘感受性问题,获得了一些有意义的结果[13].

随后,人们发现平板前缘几何形状对边界层前缘感受性具有明显的影响,并展开了大量的研究工作.Hammerton和Kerschen[14,15]采用渐近分析法和数值模拟研究斜声波扰动作用下抛物形前缘机翼表面边界层感受性问题时发现,随着攻角的不断增大,机翼上表面边界层内被诱导的感受性强度逐渐减弱,但机翼下表面边界层内被诱导的感受性强度则逐渐增强;当达到临界攻角以后,则会出现完全相反的结论.Lin等[16]研究了椭圆形前缘平板边界层声波感受性问题,发现当前缘椭球比逐渐增大时,边界层内被激发出T-S波的幅值将逐渐减小;反之,边界层内被激发出T-S波的幅值将逐渐增大.采用与Lin等[16]相同的物理模型,Fuciarelli等[17]计算了边界层中性曲线下支附近声波感受性问题,数值研究发现在声波入射角为15◦时边界层内被诱导的前缘感受性系数大约是声波入射角为0◦时的四倍.Wanderley和Corke[18]也做了类似的研究,并发现边界层中性曲线下支附近T-S波的幅值随着前缘椭球比的增加而逐渐减少等结论.Buter和Reed[19]采用与Lin等[16]相同的方法,数值模拟了涡扰动作用下边界层前缘感受性过程,发现边界层内被激发产生T-S波的幅值与自由来流涡扰动的幅值呈线性关系.2010年,Schrader等[20]采用直接数值模拟(DNS)方法,研究了不同类型涡扰动作用下具有椭圆形前缘平板边界层感受性问题,也获得了一些有意义的结论.

2 控制方程和数值方法

2.1 控制方程

选取椭圆形前缘的短轴长度b、无穷远来流速度U∞以及流体密度ρ为特征量,经无量纲处理获得无量纲的二维不可压缩Navier-Stokes方程:

其中速度为V=U+V′,V′={u,v}T为扰动速度,U为基本流速度;p为压力;雷诺数为Re=(U∞b)/υ,υ为流体的运动黏性系数.通过雅克比行列式变换

将曲线坐标系(x,y)化为直角坐标系(ξ,η)问题进行数值计算[21].控制方程的离散方法为:时间偏导数采用修正后的四阶Runge-Kutta格式;空间偏导数则采用紧致有限差分格式,即对流项为五阶精度迎风紧致有限差分格式,压力梯度项为六阶精度紧致有限差分;黏性项为六阶精度紧致有限差分格式;压力方程利用四阶精度的有限差分格式迭代求解[22].

2.2 自由来流湍流模型

在自由来流中的扰动主要有以下几种形式:声波扰动、涡波扰动、自由来流湍流以及熵扰动.声波扰动以压力脉动的形式来激发感受性机制,涡波扰动以单波扰动的形式来激发感受性过程以及自由来流湍流是以一群涡波扰动来激发感受性的物理现象;熵波一般以温度扰动的形式来激发边界层感受性机制.在自然界和工程技术实践中,自由来流湍流是普遍存在的,通过构造一组单波扰动组成的波群来模拟自由来流湍流模型,使研究课题更加接近于真实的物理问题.本文依据文献[23]的概念,推导建立自由来流湍流模型,其表达式为

2.3 计算区域和网格生成

图1为本文研究具有不同椭圆形前缘平板边界层感受性问题的计算区域:其中a为椭圆形前缘的长轴,b为椭圆形前缘的短轴,且椭圆形前缘椭球比定义为AR=a/b;椭圆形前缘顶点曲率为K=a/b2;流向区域x∈[−50,800],且平板前缘的流向位置位于x=0;法向区域y∈[−11,11];为便于比较,采用与Lin等[16]以及Schrader等[20]研究前缘感受性问题相同的参数,其雷诺数为Re=2400;采用泊松方程法[21]

生成椭圆形前缘平板边界层感受性问题的贴体网格,详细见图2所示.(4)式是通过源项函数P和Q控制网格在壁面处保持正交,并在平板前缘驻点以及壁面附近加密网格,以确保数值计算的准确性,计算网格数为1000×200.

壁面釆用无滑移条件:壁面上的速度u=v=0,法向压力梯度∂p/∂n=0.

随着农业生产水平不断的提升，农产品的质量成为人们普遍关注的话题。在农业的实际生产过程当中，由于受到诸多因素所影响，导致农产品质量偏低。因此，如何提高农产品质量，成为当前农业生产领域共同研究的课题。本文主要对目前我区土壤肥料工作中存在的问题作出论述，并分析了提高农产品质量中我区土壤肥料工作的主要发展趋势。

无穷远边界条件:速度由自由来流湍流模型(2)确定;p=0.

出流边界条件:∂p/∂x=0;速度采用无反射条件.

图1 计算区域示意图Fig.1.Computational domain.

图2 网格生成的示意图(AR=4)Fig.2.Generated mesh(AR=4).

3 数值结果与分析

首先,研究在自由来流湍流作用下激发具有不同椭圆形前缘平板边界层感受性问题的物理机制,通过时间快速傅里叶分析和流动稳定性理论,证明在自由来流湍流作用下激发具有不同椭圆形前缘平板边界层内被诱导出T-S波模态的感受性机制是真实存在的,具体过程与文献[13]相同,这里不再赘述.本文重点关注椭圆形前缘曲率变化对平板边界层内被激发出T-S波波包的感受性过程以及波包向前传播的群速度的影响机理;建立T-S波的幅值、色散关系、增长率、相速度以及形状函数与前缘曲率之间的内在关系;综合分析前缘曲率在平板边界层内被激发出T-S波模态的感受性过程中的作用等.为方便比较计算结果,定义无量纲频率为数值计算发现,当y>6时边界层外缘的扰动速度均方根值经长时间计算趋于稳定值.在这里,定义边界层外缘的稳定值为自由来流湍流度AFST,

研究了在自由来流湍流作用下具有不同椭圆形前缘曲率对平板边界层内被激发出的T-S波波包向下游演化的作用或影响,如图3所示.图3给出了前缘椭球比AR分别为4和20情况下,边界层内被激发出T-S波波包沿流向或x方向的演化规律.从图3可知,椭圆形前缘顶点曲率较小(前缘椭球比AR=4)时边界层内激发出T-S波波包的幅值要明显大于椭圆形前缘顶点曲率较大(前缘椭球比AR=20)时边界层内被激发出T-S波波包的幅值.但是,在不同椭圆形前缘顶点曲率情况下,边界层内被激发出T-S波波包序列结构具有相似性.此外,通过近似计算方法[11]获得了不同椭圆形前缘顶点曲率对平板边界内被激发出T-S波波包向前传播群速度影响的定量结果,如表1所列.从表1可知,不同椭圆形前缘顶点曲率变化对平板边界层内被激发出T-S波波包向下游传播群速度的影响很小,依然保持在自由来流速度三分之一左右,与实验结果相符[24].

图3 具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出的T-S波波包沿流向的演化(y=1.3,t=2400)Fig.3.Streamwise evolutions of the excited T-S wave packets in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(y=1.3,t=2400).

表1 具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出T-S波波包向下传播的群速度Table 1.Group speeds of the excited T-S wave packets in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges.

数值计算了不同前缘椭球比情况下平板边界层内被激发出T-S波波包最大的幅值ATSP,其数学表达式定义为

图4 具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出T-S波波包最大的幅值与前缘椭球比AR之间的关系(y=1.3)Fig.4.The relation between the maximum amplitude of the excited T-S wave packets and the leading-edge aspect ratio in the flat-plate boundary layer(y=1.3).

图5 具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出的T-S波沿流向的演化(y=1.3,t=2400)Fig.5.Streamwise evolutions of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(y=1.3,t=2400).

随后,通过时间快速傅里叶分析方法,从图3中分别提取获得不同频率的T-S波.图5分别给出了频率F=60和90情况下,不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出的T-S波沿流向的演化规律.图5显示,无论是提取获得频率F=60的不稳定T-S波还是频率F=90的稳定T-S波,椭圆形前缘顶点曲率越小(即椭球比越小),平板边界层内被激发出T-S波的幅值就越大;反之,椭圆形前缘顶点曲率越大(即椭球比越大),平板边界层内被激发出T-S波的幅值就越小.

再依据图5所示平板边界层内被激发出T-S波的演化规律,可以近似计算出不同前缘椭球比情况下,平板边界层内被激发出T-S波的色散关系和相速度的大小,具体见表2和表3所列.表2和表3数据显示,椭圆形前缘顶点曲率(或椭球比)变化对平板边界层内被激发出不同频率的T-S波的色散关系和相速度的影响很小,它们之间产生的最大误差大约为5‰.

图6和图7分别给出了具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出T-S波的幅值和增长率沿流向的演化规律和无限薄平板边界层内被激发出T-S波的幅值和增长率沿流向的演化.其中T-S波的幅值ATS定义为

表2 具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出T-S波的平均波数αr(Reδ∗=1000)Table 2.Average wave numbers of the excited T-S waves αrin the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(Reδ∗ =1000).

表3 具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出T-S波的平均相速度(Reδ∗=1000)Table 3. Average phase speeds of the excited T-S waves αrin the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(Reδ∗ =1000).

图6 具有不同椭圆形前缘平板层内被激发出T-S波的幅值沿流向的演化Fig.6.Streamwise evolutions of amplitudes of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges.

图7 具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出T-S波的增长率沿流向的演化Fig.7.Streamwise evolutions of growth rates of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges.

图8 具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出T-S波的形状函数沿y向的分布 (a)幅值;(b)相位Fig.8.The y-direction distributions of the shape functions of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges:(a)Amplitudes;(b)phases.

最后,给出具有不同椭圆形前缘平板边界层内被激发出T-S波的形状函数随y向的分布规律(形状函数被平板边界层内诱导出T-S波的流向扰动速度的最大值|u|max归一化),详细见图8所示.从图8可以看出,不同椭圆形前缘顶点曲率(即不同椭球比)情况下,平板边界层内被激发出T-S波的形状函数沿y向的分布规律几乎完全重合.这说明无论椭圆形前缘顶点曲率如何变化,平板边界层内被激发出T-S波的形状函数沿y向的分布规律是相同的.

4 结 论

本文在前缘椭球比AR>2的情况下,研究椭圆形前缘曲率变化对平板边界层感受性问题的影响,其数值结果如下.

1)当椭圆形前缘顶点曲率越小(即前缘椭球比越小)时,边界层内被激发出的感受性现象就越强;反之,椭圆形前缘顶点曲率相对越大(即前缘椭球比越大)时,平板边界层内被激发出的感受性现象就相对较弱;但是,当椭圆形前缘顶点曲率大到某一阈值(即前缘椭球比AR=40)后,边界层内被激发出的感受性强度渐渐趋向于稳定状态.

2)无论椭圆形前缘顶点曲率如何变化,在自由来流湍流作用下平板边界层内都能被激发出T-S波波包序列的演化规律,它们之间的空间分布具有完全相似性和对称性特性;其次,椭圆形前缘顶点曲率的改变对边界层内被激发出T-S波波包向下游传播的群速度几乎没有影响,其群速度的大小近似等于自由流速度三分之一的实验值.

3)无论椭圆形前缘顶点曲率如何变化,对平板边界层内被激发出不同频率T-S波的色散关系、相速度、增长率以及形状函数的影响很小或者几乎不变,仅对平板边界层内被激发出不同频率T-S波的幅值产生显著的影响,即当椭球比越小时边界层内被激发出的不同频率的T-S波的幅值越大,反之边界层内被激发出的不同频率的T-S波的幅值就越小.