一种修正的Tikhonov方法求解 拉普拉斯方程的柯西问题

熊向团，任丽婷

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)

0 引言

拉普拉斯方程的柯西问题出现在许多工程领域，如稳定状态的逆热传导[1]、心脏病学[2]等.然而这个问题是不适定的，为了解决其稳定性,需要一种有效且易于使用的数值近似方法.在过去的几十年里,已经提出了许多稳定数值近似方法来解决这类问题，如傅里叶正则化方法[3-5]、吉洪诺夫正则化方法[6-8]、截断方法[9]、扰动方法[10]、变分方法[11]、小波方法[12]、逆拟方法[13]等等.但是,这些结果主要集中于正则化参数的先验选取，进而得到误差估计，然而在正则化参数选取规则中，先验界往往难以估计,针对这种缺陷，文中同时考虑正则化参数的后验选取问题.

考虑矩形区域上拉普拉斯方程的柯西问题，从输入数据g(·):=u(·,0)处确定解u(x,y)(0

利用分离变量法得到问题(1)～(4)的解为

(5)

其中

(6)

从解u(x,y)可以看出这个问题的不适定性,文中用修正的Tikhonov方法在矩形区域上求解拉普拉斯方程的柯西问题,通过不同的参数选择规则得到了Hölder类型的误差估计.

1 先验参数选择和误差估计

假设精确数据g(x)和带噪音数据gδ(x)都属于L2(R)且满足

||g(·)-gδ(·)||≤δ,

(7)

其中||·||为L2(R)上的范数，δ>0表示噪音水平.对于不适定问题,在精确解上做一些先验假设是有必要的,否则,正则化近似解的收敛速度可能任意慢[13].作先验假设如下：

||u(·,1)||≤E,

(8)

这里E>0是固定的常数，则不等式等价于

(9)

带有噪音数据的近似解定义为

其中ρn(y)是过滤函数，即

这里α是正则化参数,且

引理1[6](a) 如果0≤ω≤1,0≤s≤1,α>0,则有

(b)如果1≤ω≤2,0≤s≤1,α>0,则

证明由(5),(10)式及三角不等式可得

令s=e-n,则0

2 后验参数选择和误差估计

下面通过Morozov偏差原理选择后验正则化参数,令α满足如下方程:

这里τ>1是一个常数,α是正则化参数.进一步，有

引理2设

并且0<τδ<||gδ||,则下列性质成立：

(a)φ(α)为连续函数;

(d)φ(α)为严格递增函数.

结论是明显的，略去证明.

注1：由引理2可知方程(18)存在唯一的解α.

引理3如果α是方程(18)的解,则有

(20)

证明由(7),(9),(13)式和三角不等式可得

进而不等式(20)成立. 】

引理4如果α是方程(18)的解,则有

证明由(7),(9),(14)式可得

将(20)式代入(22)式可得(21)式成立. 】

定理2如下不等式成立：

证明由(7)式和三角不等式可得

证明联合(21),(23)式及Hölder不等式可得

3 结束语

众所周知,每一种正则化方法都有各自优缺点,提出解决所有问题的通用方法是非常困难的,对于不同的问题,它需要给出一个合适的解,这就促使我们去研究和构建正则化方法.针对本文具体内容我们使用修正的Tikhonov 方法求解拉普拉斯方程的柯西问题,通过先验和后验参数选择得到了Hölder类型的误差估计.

修正的Tikhonov 方法也可能适用于Helmholtz方程柯西问题及其他不适定问题,这也有待于我们进一步探究.