矩阵位移法与有限位移元法的联系与区别

赵勇 张建栋 陈昌裕

【摘 要】随着计算机技术进入工程领域，“电算”逐渐受到人们的重视。作为“电算”的工具，矩阵位移法和有限单元法在工程应用中具有重要地位，本文从多方面多角度对矩阵位移法和有限位移元法进行了分析与讨论，总结了两者的联系与区别，对于建筑工程领域的初学者具有一定的指导作用。

【关键词】矩阵位移法；有限单元法；有限元分析；结构分析

作为有限单元法的雏形，结构力学的结构矩阵分析方法与弹性力学的有限单元法都是随着计算机的发展而逐渐受到重视的方法。以结点位移作为基本未知量，与结构矩阵分析方法对应的有矩阵位移法，相同地，与有限单元法对应的是有限位移元法。以位移为基本未知量求解问题具有系统性、规律性强的特点，符合“电算”的特点，因此矩阵位移法和有限位移元法在求解实际问题的过程中应用最为广泛。

下面通过对比，分析矩阵位移法和有限位移元的联系与区别。

1 矩阵位移法和有限位移元的联系

1.1基本原理的相似

矩阵位移法和有限位移元法都是通过结构的离散化，将复杂结构的计算转化为简单单元的分析和集合问题。

1.2分析过程的相似

矩阵位移法和有限位移元法都是先进行结构离散化，然后进行单元分析，最后进行整体分析。

具体地，两种方法都是应用矩阵运算，得到平衡方程（1）

（1）

因為所需要解答的不同，在通过平衡方程得到结点位移列阵 后，在结构力学的解答要求通过方程（2）得到结点力

（2）

而在有限位移元的解答要求通过方程（3）得到应力

（3）

其中 为应力转换矩阵

2 矩阵位移法和有限位移元的区别

2.1研究对象

结构力学的矩阵位移法主要针对平面简单杆系进行结构分析，如刚架、连续梁、桁架等等，研究对象较为单一，而弹性力学的研究对象可以是具有各种边界条件的弹性体，不仅可以解决线弹性问题，而且可以有效处理材料、几何非线性问题和非线性边界等问题，因而具有极高的灵活性与通用性。

2.2 基本研究单元

矩阵位移法的基本单元是通过结点分解形成的单个杆件，相比之下，有限单元法的基本单元更加灵活，可以是三角形单元、矩形单元或任意四边形单元，单元的结点也可以灵活设置，可以通过控制基本单元的形式和大小来调控解答的精度。

2.3 劲度矩阵

有限单元法的各结点通过铰连接，需要注意的是，当有限单元法中采用三结点三角形单元时，对应的劲度矩阵为六阶方阵，在矩阵位移法中的劲度矩阵（结构力学中常称为刚度矩阵）也为六阶方阵，但其性质是不同的。在有限单元法中的六阶劲度矩阵是因为每个结点有两个结点线位移，总共有六个结点位移，即

因此劲度矩阵为六阶；而在矩阵位移法中，每个杆件单元有两个结点，每个结点分别有两个线位移和一个角位移，总共也是六个结点位移，即

反映到劲度矩阵中也为六阶。

2.4 解答的精度

矩阵位移法的解答是依据线弹性理论求得的数学解析解，只要结构的约束条件和外力是确定的，其解答便是唯一的精确解。有限位移元法的解答是将原结构离散化、数值化，对非结点求解域进行插值，依据数值计算方法而求得的解，这些解既有原结构离散化、数值化过程中的舍入误差，也有插值产生的误差，所以为近似解，但是有限位移元的解答可以通过增加网格密度，改善单元形状，尽量使用高阶插值型单元以及计算时尽量使用双精度迭代等方法，使之无限逼近精确解的数值解。

2.5 解答范围

矩阵位移法本质上就是把位移法用矩阵形式表示，属于结构力学的范畴，结构力学只研究杆件结构的内力，而不涉及应力、应变分析，因此当一个杆件单元两端的受力情况明确以后，加之直接作用在杆件内侧的外力条件，运用静力平衡即可得到每个截面的内力情况，即得到结构力学范畴的解。相对地，弹性力学要求分析结构内部应力应变情况，且研究对象是各种形状的弹性体，除杆件外，还有各种平面体、空间体、平板和壳体等，通过有限位移元方法求得每个单元的结点位移后，必须通过某一个位移模式表示出单元中任一点的位移，再借助弹性力学的几何方程和物理方程求得应变、应力。

3 结语

矩阵位移法是有限位移元法的雏形，其原理和分析过程基本一致，对于初学者，可以将矩阵位移法与有限位移元法一起学习，根据矩阵位移法理解单元刚度矩阵、整体刚度矩阵、边界条件处理技巧等。

参考文献：

[1] 文国治，李正良. 结构分析中的有限元法[M]. 武汉理工大学出版社，2010.

[2] 袁驷. 从矩阵位移法看有限元应力精度的损失与恢复[J]. 力学与实践，1998，20（4）：1-6.

[3] 杜平安. 有限元网格划分的基本原则[J]. 机械设计与制造，2000（1）：34-36.

（作者单位：青岛理工大学土木工程学院）