基于四元数Gabor小波的多尺度彩色边缘检测

武静

摘要：本文将灰度Gabor滤波器推广到四元数Gabor滤波器，设计了用于彩色边缘检测的多尺度四元数Gabor滤波器，解决了传统Gabor边缘检测无法考虑到彩色图像的色调信息，并充分利用了小波多尺度在边缘检测中的优越性。

关键词：四元数；Gabor；多尺度；边缘检测

边缘是图像中的重要信息，也是视觉感知的重要线索。而研究表明，彩色图像中大约有90%边缘与灰度图像中的边缘相同，即10%的边缘在灰度图像中是检测不到的，因此彩色图像的边缘检测越来越受到人们的关注。

基于此，本文提出了一种基于四元数Gabor小波的多尺度彩色边缘检测方法，一方面这种方法始终将彩色像素作为一个整体来进行处理，充分考虑了彩色图像各颜色分量之间的相关性；另一方面，本文提出的方法结合了Gabor滤波器、多尺度小波在边缘检测中的优点，使得该方法不仅在彩色边缘检测中具有一定的价值，而且由于Gabor小波最佳的时间局部性和可以较准确地模拟人脑视觉皮层简单细胞的感受野特性，使得本文算法对于研究人类视觉特性具有一定的借鉴意义。

1 彩色图像的四元数描述及四元数Gabor小波

1.1 彩色图像的四元数描述

1996年，Pei首次提出了彩色图像的四元数模型，彩色图像的每个像素都可以表示为一个纯虚四元数：

其中表示彩色图像，分别表示彩色图像的红、绿、蓝三色分量。

1.2 Gabor小波

Gabor滤波器具有非常特殊的性质，即最佳时间频率局部化特性和接近人类视觉神经的反应特性。1992年，R.Mehrotra指出，用Gabor滤波器组对灰度图像进行边缘检测时，具有与Canny算子相似的局部特性和多尺度特性，因而具有比传统的Sobel、Prewitt、LoG算子等优越的边缘检测性能。鉴于Gabor滤波器在灰度图像边缘检测中的广泛应用，这里将Gabor滤波器推广到四元数Gabor滤波器来进行彩色图像边缘检测。

將Gabor滤波器扩展到四元数Gabor滤波器有多种方法，本文用代替来得到四元数Gabor滤波器，故四元数Gabor滤波器的表达式为：

其中，其它参数所表示的意义与Gabor滤波器中的相同。

2 基于四元数Gabor滤波器的彩色边缘检测算法

本文提出的基于四元数Gabor滤波器组的多尺度彩色边缘检测算法，具体步骤如下：

步骤1）将输入的RGB图像表示成四元数的形式；

步骤2）设计用于对彩色图像进行边缘检测的四元数Gabor滤波器；

本文算法将彩色图像在2个尺度、2个方向下进行四元数Gabor小波变换，故需要控制的参数是四元数Gabor核函数中的和，这里，由此可以得到四个Gabor滤波器。

步骤3）将输入的图像与设计好的Gabor滤波器进行卷积；

在灰度Gabor边缘检测中，Gabor滤波器的虚部具有较好的边缘检测效果，故四元数Gabor滤波器也应取其各个虚部分别与彩色图像进行卷积，并将结果叠加起来，即

其中，*表示卷积，表示四元数Gabor滤波器的三个虚部分量。

步骤4）对同一尺度下，两个方向的Gabor滤波输出结果计算其幅值和相位；

设同一尺度下，水平、垂直方向的滤波结果分别为和，其中分别表示和的三个虚部分量。

则其在该尺度下的幅值为：

方向角为：

步骤5）利用彩色Canny边缘检测相似的方法来进行非极大值抑制、高低阈值边缘连接、边缘细化，最终得到大、小两个尺度下的边缘图像，并将这两个尺度的边缘图像进行融合，得到四元数Gabor小波多尺度彩色边缘检测的最终结果。

3 实验结果及分析

由于对边缘检测性能评价具有很大的主观性，使得很难对边缘检测结果进行客观评价。故使用自然图像来测试本文算法的效果，并用灰度Gabor多尺度边缘检测和彩色Canny多尺度边缘检测与本文算法进行比较。

（a）原图（b）灰度gabor（c）彩色canny（d）本文算法

Lena图像边缘检测结果对比图

上图是Lena图像的边缘检测结果，从实验结果可以看出，灰度Gabor边缘检测方法将彩色图像转换为灰度图像再进行处理，由于仅利用亮度信息进行边缘检测，没有考虑色调信息，因此部分边缘不能被检测出来，而本文算法能检测出比灰度Gabor更多的边缘，与彩色Canny具有相似的检测效果，在有的地方甚至优于彩色Canny，如图2中的左下角，本文方法检测出的弱边缘更为完整。

参考文献：

[1]金良海.彩色图像滤波与基于四元数的彩色图像处理方法[D].华中科技大学，2008.

[2]余见.彩色图像边缘检测和分类[D].厦门：厦门大学，2008：12.

[3]计润生.彩色图像边缘检测方法及比较研究[D].合肥：中国科学技术大学， 2007：12.

基金项目：2018年度许昌市科技攻关项目的阶段性研究成果