例谈幂级数及其和函数的几种应用

沈柳平 杨继昌

摘要：幂级数展开式以及它的和函数是高等数学理论体系和实践联系非常紧密的内容之一。为了能更清晰地认识幂级数的形式及其和函数的一些用途，本文根据幂级数的特有形式及其和函数的性质，结合当前很多对幂级数理论的相关研究，用实例阐述和归纳了它们在表示函数、常数项级数求和、极限计算、解微分方程等方面的应用。

关键词：幂级数；和函数；应用

无穷级数是高等数学中的一项重要内容，它在数学理论研究、工程实际应用和市场经济分析等方面起着举足轻重的作用。无穷级数的主要内容有常数项级数、幂级数和傅利叶级数等，其中幂级数以及幂级数求和是教学中的重点，也是学生学习的难点。因为幂级数的各项都是幂函数，它可以形象地被看作是按自变量升幂排列的“无穷次多项式”。另外，幂级数的和函数有很重要的连续、可微、可积等分析性质，并且它总可以用幂级数的部分和近似代替后仍可达到较高精度。对学生而言，在高等数学中接触到的逐项求导法和逐项求积法求幂级数的和函数确实有些困难。目前，已有很多文献研究幂级数的求和方法正好可以解学生的燃眉之急。本文着重列举一些关于幂级数及其和函数的应用，让学生进一步意识到幂级数可以学以致用以激发他们的学习兴趣，同时也为读者后续的讨论和研究抛砖引玉。

5 结束语

关于幂级数及其和函数的应用绝对不止上述几种，它们还可以用于近似计算、定积分的计算，等等，在此不作完备归纳。但是对于幂级数及其和函数的研究是永无止境的，如果高校师生能够参与这些研究，对教师教学重点的把控和教学科研水平的提高、对学生数学素养的培养和学习兴趣的提高等都大有裨益。

参考文献：

[1]方艷，程航.幂级数和函数的几种常见解法[J].海峡科学，2018（2）：87-88.

[2]刘春连.幂级数求和函数的方法及应用[J].高等数学研究，2016（3）：42-44.

[3]蔡高明，黄天富.浅析幂级数在函数方面的几点应用[J].数理化研究，2016（1）：293.

[4]黄飞，钟家伟.泰勒公式及泰勒级数的应用[J].佳木斯大学学报，2016（6）：1029-1032.

[5]石秀文.模式思维方法在数项级数求和中的应用[J].邢台学院学报，2015（2）：170-172.

[6]张建军，宋业新，瞿勇.从两道竞赛题看幂级数展开式的应用[J].科技创新导报，2017（30）：224-225.

[7]刘小兰，邓雪.考研数学中的幂级数求和一题多解[J].南昌师范学院学报，2014（6）：1-4.

[8]易曲.探求无穷级数求和的几种常用方法[J].科技传播，2011.1（下）：91-92.

[9]陈志华，杨继明.化归思想在幂级数求和中的应用[J].玉溪师范学院学报，2007（8）：78-82.

[10]王帅，许秀娟.高等数学[M].同济大学出版社，2015.

[11]同济大学应用数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2005.

[12]卢家林，李大林.应用数学[M].清华大学出版社，2009.

第一作者简介：

沈柳平（1968-），女，广西融安人，副教授，研究方向：微分方程。