基于双层规划定价模型的共享单车使用价格的确定

刘鑫 王权 乔通 周旭

摘要：随着经济的发展，城市共享单车因其便捷、便宜和灵活的特点成为越来越多人的选择。针对共享单车使用价格的问题，首先分析了不同时空下共享单车的需求量，通过使用Logit模型、用户平衡分配模型、随机平衡分配模型，建立双层规划定价模型，上层规划为共享单车租赁公司，下层规划为出行者。它们在相互的适应中会生成一个平衡点，从而确定出合理的共享单车使用价格。

关键词：双层规划模型；需求量；共享单车；平衡点

中图分类号：F 文献标识码：A 文章编号：

1不同时空下共享单车的需求量

首先在空间上统计了不同地域人们对于共享单车的租借数，以上海为例，调查了15天的共享单车的日租借数，由于居民的个人偏好、所在地的交通状况等复杂因素，不同的地域人们对于共享单车的需求量不同，城市中心区共享单车的需求量[1]最大，郊区共享单车的需求量最小[2]。

2基于双层规划定价模型的共享单车使用价格的确定

在共享单车票价定价问题中，共享单车公司的利益和出行者的出行方式是息息相关的，因此可以用双层模型制定票价，其中上层规划为共享单车租赁公司，下层规划为出行者。共享单车租赁公司可以根据市场变化调节共享单车使用的价格，而共享单车使用的价格变化会影响出行者选择出行工具。它们在相互的适应中会生成一个平衡点，即为城市共享单车的合理使用价格[3]。

为了建立双层规划模型，我们会用到Logit模型、用户平衡分配模型以及随机平衡分配模型[4]。

2.1 Logit模型具体如下

（1）

其中，Pijr表示选择出行方式r的情况下从起点i到终点j所对应的分担率；η表示待定系数；Kijr表示选择出行方式r的情况下从起点i到终点j所对应的交通阻抗。

2.2 用户平衡分配模型如下

当用户在出行时，会根据他们自己不同的需求选择不同的出行方式，当然每个出行者会选择广义费用最小的出行方式。因此，本文假设每个出行者相应的广义出行费用都是相等的，且不大于未被利用的交通方式的出行费用。

本文综合各种影响出行者选择出行方式的因素，建立以下模型[4]：

（3）

其中，A（x）为目标函数；xb表示路段b上的交通流量；Lb表示路段b的交通阻抗；Lb（Xb）表示路段b关于流量的阻抗函数；fopk表示从起点o到 p间的OD客流量；ξopb，k表示路段-路径的0-1变量，即假设路段b为自起点o到终点p的OD间的第k條路径，那么ξopb，k=1，负责ξopb，k=0。

2.3 随机平衡分配模型如下

由于相应路段的流量是随着路段的阻抗的变化而变化。所以出行者会随机的选择对应阻抗最小的路径来出行。相应的模型如下[5]：

其中 表示在各路段实际阻抗前提下的感知阻抗的数学期望；COP（X）表示（o，p）之间各条路径的实际阻抗的向量；Copk表示 （o，p）之间第k条路径的感知阻抗。

3双层规划模型的建立与求解

本文在出行者以及共享单车租赁公司的利益为前提下，共享单车相应的票价收入Ir跟票价Cr和客流量Qr相关，具体关系如下：

（4）

根据上述Logit模型，对交通方式的选择来进行相应的离散选择分析，具体如下：

（5）

其中，Cijr在交通方式v下从起点i到终点j的票价；λk为与交通方式v相关的特征参数；η是交通方式v下的安全、准点、舒适等相关特征； r表示共享单车方式，v表示其他公共交通方式。

3.1上层规划模型

共享单车租赁公司只考虑最大输入作为目标，具体模型如下：

（6）

其中，I（C）表示共享单车的收入；Cminr表示政府限制共享单车的最低票价；Cmaxr表示政府限制共享单车的最高票价；xijr表示共享单车从起点 到终点 对应的实际客流量。

3.2下层规划模型

出行者考虑出现出行成本，建立模型如下：

其中， 表示以各路段实际阻抗为前提下的感知阻抗的相应的数学期望；Cop（x）表示（o，p）之间各条路径的实际阻抗的向量； Copk表示（o，p）之间第k条路径的感知阻抗；Lijr（Xijr）表示节点（i，j）间的流量为自变量的阻抗函数；fopk表示共享单车的出发点o到目的地p的OD间的第k条路径上的流量；ξopo，b，k表示路段与路径的相关变量。

3.3双层规划模型的求解算法

设定票价为相应的扰动参数，并假设客流量的相关影响因素维持恒定，就可以采用灵敏度分析的方法来进行票价的求解。相关的用户平衡分配模型的变分不等式如下[6]：

（7）

其中， 表示模型的均衡解， 表示阻抗函数。假设存在扰动参数C，即 ，则可以转化为：

（8）

在公式（7）中，对于任意 ，假设变分不等式（8）在C=C（0）时的解x*ijr（C（0））是唯一确定的。那么当C=C（0）时，双层规划问题的解的必要条件为：

（9）

其中，Cijr表示均衡模型中约束的拉格朗日乘子向量。假设y（C）=[xijr（C），Cijr（C）]r，用Jc（C）来代表上两式对y（C）的雅可比矩阵，用Jc（C）来代表上两式对C的雅可比矩阵，就可以获得下式[7]：

（10）

设定初始单车使用价格为 ，假设i与j之间对应的其他类型共享单车的使用价格都不变，对下层规划问题进行求解，可以得到i与j 的客流量 。然后运用灵敏度分析法计算客流量的变化和单车使用价格的相应关系 。因此反映函数泰勒展开式近似表达式为[8]：

（11）

将公式（11）迭代进上层规划问题中，可得上层规划问题的最优解，然后再求解下层规划问题，进而得到最新的解，并能得到新的近似反应函数。如此反复跌迭代，最终可得满意解，具体步骤如下：

（1）假设共享单车使用价格初始值为Cijr（0），设定精度ξ以及客流量 的值，并令

（2）让已知 迭代进对应的下层问题中，并对下层的客流量分布求解，就能够获得一个均衡解xijr（p）。

（3）运用灵敏度分析法获取多种交通方式前提下的共享单车客流量对其使用价格相应的倒数关系式，由此可以求出反应函数的近似表达式。

（4）将步骤（3）中获得的反应函数的近似表达式迭代进上层规划的目标函数并求解，由此可得一组新的共享单车的票价yijr（p）。

（5）求解 其中h为迭代步长。

（6）当 时迭代停止，否则令p=p+1，返回步骤2迭代求解。

4结论

首先以上海市为例，分析了不同时空下共享单车需求量。之后为了设计一个最优的定价模型，建立了 模型、用户平衡分配模型以及随机平衡分配模型，从而建立双层规划模型并求解，得出了较为合理的共享单车使用价格。