集合中的易错点

■河南省息县第一高级中学 曹国文

集合的学习,为函数的一一对应打下基础,同时为以后函数的定义域、值域、解集的学习等打下基础。可以这样讲,没有集合,函数就很不完整。现代数学也是完全建立在集合基础上的。

下面来谈谈同学们在集合学习中容易出现的问题:

警惕1——忽视集合元素的互异性

例1 若集合A中有三个元素x,x+1,1,集合B中也有三个元素x,x2+x,x2,

错解:x=±1。

剖析：出现错解是因为由方程组求得x=±1后,忽视对求出的值进行检验,从而得出错误的结论。因为A=B,所以经检验,x=1不符合集合元素的互异性,而x=-1符合。所以x=-1。

易错防范：当集合中的元素含字母并要求对其求值时,求出的值一定要加以检验,看是否符合集合元素的互异性。

跟踪训练1 若集合A中含有三个元素x-3,2x-1,x2-4,且-3∈A,则实数x的

正解：①若x-3=-3,则x=0,此时A={-3,-1,-4},满足题意。

②若2x-1=-3,则x=-1,此时A={-4,-3,-3},不满足元素的互异性。

③若x2-4=-3,则x=±1,当x=1时,A={-2,1,-3},满足题意;当x=-1时,由②知不合题意。

综上可知x=0或x=1。

易错点：忽视检验的步骤,没有看是否符合集合元素的互异性。

警惕2——忽视描述法表示集合中的代表元素

例2 已知集合A={x|y=l n(1-2x)},B={x|ex＞1},则( )。

错解:A。

剖析：出现错解是因为解答时没看清代表元素,A集合表示的是函数y=l n(1-2x)的定义域。

易错防范：对这样的题要搞清楚代表元素是谁,求出代表元素表示的范围,进而求集合运算。

易错点：把集合A,B中的代表元素是点集错看成是数集。

警惕3——忽略了空集的存在

例3 已知A={x|3≤x≤2 2},B={x|2a+1≤x≤3a-5},若B⊆A,则a的取值

剖析：错解中漏掉了B=∅的情况,因为B⊆A,所以分B=∅或B≠∅。当B=∅时,3a-5＜2a+1,可得a＜6。

易错防范：(1)遇到A∩B=∅时应注意“极端”情况A=∅或B=∅。(2)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时,不要忽略A=∅。

跟踪训练3 已知A={x|x2+4x+4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中a∈R。如果A∩B=B,求实数a的取值范围。

正解：x2+4x+4=0,解得x=-2,所以A={-2}。因为A∩B=B,所以B=∅或{-2}。所以Δ=4(a+1)2-4(a2-1)≤0,解得a≤-1。当a=-1时,B={0},舍去。所以实数a的取值范围是(-∞,-1)。

易错点：忽略B=∅,从而认为-2是集合B中方程的根而出错。

警惕4——忽略补集思想的应用

例4 已知集合A={x|x2-4x+2m+6=0},B={x|x＜0},若A∩B≠∅,求实数m的取值范围。

错解:有些同学往往从正面入手,分类较多,容易漏解。

剖析：此例应从反面入手,先求A∩B=∅时m的取值范围,分两类:①当A=∅时,方程x2-4x+2m+6=0无实根,所以Δ=(-4)2-4(2m+6)＜0,解得m＞-1。②当A≠∅,A∩B=∅时,方程x2-4x+2m+6=0的根为非负实根。设方程x2-4x+2m+6=0的两根为x1,x2,则得-3≤m≤-1。综上所述,当A∩B=∅时,m的取值范围是{m|m≥-3}。此时求补集要注意全集,又因为U=R,所以当A∩B≠∅时,m的取值范围是∁U{m|m≥-3}={m|m＜-3}。

易错防范：(1)若从正面解决分很多类比较棘手易错,用补集的思想解决问题思路会清晰得多。(2)此题易忽视指明U=R而直接得出结论,造成解题步骤不完整而失分。

跟踪训练4 已知集合A={x|2m-1＜x＜3m+2},B={x|x≤-2或x≥5},是否存在实数m,使A∩B≠∅?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由。

正解：先求A∩B=∅时m的取值范围。

①当A=∅时,2m-1≥3m+2解得m≤-3。

易错点：从正面解决分类多,易漏解。

警惕5——忽略数形结合在集合问题中的应用

例5 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为( )。

A.7 7 B.4 9 C.4 5 D.3 0

错解:有些同学无从下手。

图1

剖析：例题中的集合是整点集,运用平面直角坐标系处理很直观,因为集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5个元素(即5个点),即圆中的整点,如图1,集合B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有2 5个元素(即2 5个点),即图中正方形A B C D中的整点,集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点),即7×7-4=4 5个。

易错防范：(1)本例中是整点集,运用平面直角坐标系处理很直观。(2)列举法常借助V e n n图解题。(3)描述法常借助数轴来运算,求解时要特别注意端点值。

跟踪训练5 已知全集U={x|x＜1 0,x∈N*},A={2,4,5,8},B={1,3,5,8},求∁U(A∪B),∁U(A∩B),(∁UA)∩(∁UB),(∁UA)∪(∁UB)。

解析：因为A∪B={1,2,3,4,5,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以∁U(A∪B)={6,7,9}。

因为A∩B={5,8}所以∁U(A∩B)={1,2,3,4,6,7,9}。因为∁UA={1,3,6,7,9},∁UB={2,4,6,7,9},所以 (∁UA)∩(∁UB)={6,7,9}。(∁UA)∪(∁UB)={1,2,3,4,6,7,9}。

图2

作出V e n n图,如图2所示,由图形也可以直接观察出来结果。

易错点：求集合元素时易漏,易混。

警惕6——对集合中的新定义问题往往理解不透而出错

例6 对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=m n。则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=1 6}中的元素个数是( )。

A.1 8 B.1 7

C.1 6 D.1 5

错解:有的同学对新定义理解不透,从而出现漏掉个别元素。

剖析：根据新定义,在M={(a,b)|a※b=1 6}中,有1+1 5=1 6,2+1 4=1 6,3+1 3=1 6,4+1 2=1 6,5+1 1=1 6,6+1 0=1 6,7+9=1 6,8+8=1 6,1×1 6=1 6,集合M中的元素是有序数对(a,b),所以集合M中的元素共有8×2+1=1 7个。故选B。

易错防范：(1)正确理解新定义;(2)把定义研读清楚,不要妄加猜测。(3)看清楚新定义中的集合的代表元素具备的条件。

跟踪训练6 设I={1,2,3,4},A与B是I的子集,若A∩B={1,3},则称为一个“理想配集”,那么符合此条件的“理想配集”(规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”)的个数是 ( )。

A.4 B.8 C.9 D.1 6

正解：当A={1,3}时,B={1,3},或B={1,2,3},或B={1,3,4},或B={1,2,3,4},共4个“理想配集”;当A={1,2,3}时,B={1,3},或B={1,3,4},共2个“理想配集”;当A={1,3,4}时,B={1,3},或B={1,2,3},共2个“理想配集”;当A={1,2,3,4}时,B={1,3},共1个“理想配集”。所以符合条件的“理想配集”有9个。

易错点：正确理解新定义是防范错误的关键。