漫谈古诗与数学

【编者按】数学和古诗两者看似风马牛不相及，实则关系密切：郑霁光老师的漫谈以对比的方式点出古诗与数学的相通之处，令人茅塞顿开；李尚志教授以一元微积分入诗，让古诗中的数学充满哲理与乐趣。本期“学海新知”我们将在诗歌的海洋里畅游，途中遇到的无不是美丽的数学符号与公式定理。

谈论诗歌与数学时，有人专注于介绍诗歌中数字与图形的运用，譬如“一望二三里，烟村四五家”“大漠孤烟直，长河落日圆”，但数字与图形很难在整体上代表数学；有人将古代数学著作中的问题或解答作为诗歌来探讨，譬如“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”（《算法统宗》），而这些著作很难说能代表古代诗歌。或许我们可以从宏观的角度来认识数学与古代诗歌的关系。

公理与形式

数学与诗歌都遵循一定的理论范式。譬如，公理系统是数学的重要根基。欧氏几何的大厦建立于如下五条公理之上：

（1）过相异两点，能且只能作一条直线；

（2）任意线段可以无限延伸；

（3）以任意一点为圆心，任意长度为半径，可以做一圆；

（4）凡是直角都相等；

（5）两直线被第三条直线所截，若同侧两内角和小于两直角和，则两直线会在该侧相交。

其中，第五公理又称平行公理，其等价于“在平面内，过直线外一点可且仅可作一条直线与该直线平行”。修改该公理可以得到不同的非欧几何学，如双曲几何与黎曼几何。

对应的，古诗中的律诗、绝句、词、曲都遵循一定的规范形式。虽然常见体裁一直在变，但诗歌理论的传承与革新赋予了其强大的生命力。《诗经》中的“六义”—风、雅、颂、赋、比、兴，前三者为诗体，后三者为表现手法。从《诗经》中常见的四言诗，到唐诗中常见的五言、七言，到宋词中常见的长短句，再到元曲等，每个时代常见的诗歌体裁和时代背景皆有深刻的联系。然而，对起承转合的运用，对格律与对仗的讲究，对美的追求和情感表达是一脉相承的。

符号与象征

数学符号让人们能更好地推广与使用数学这门工具。那么，诗歌中的符号是什么？原来，这是一些带有象征意义的字词。比如，“子衿”是以衣服指代恋人，“青青子衿，悠悠我心”；“莲”通“怜”，故言莲多爱慕，“低头弄莲子，莲子清如水”；秋风多感伤，“人生若只如初见，何事秋风悲画扇”；“柳”通“留”，故言柳或送别或思乡，“昔我别时，杨柳依依”“此夜曲中闻折柳，何人不起故园情”；此外，落花/乱红、夕阳、子规、鸿雁、羌笛等常见的字词也往往是诗人表达感情的符号，是读者理解诗歌的基本意象。

对称与对仗

数学家赫尔曼·外尔有本知名的小册子《对称》，基于群论介绍了对称的概念与旋转不变性，以及对物理学中的对称的思考。在中学数学里面，函数的奇偶性、函数与反函数、平面几何的轴对称和中心对称、以及图像的平移和旋转等都涉及对称性。理解对称思维无论是在初等数学还是高等数学中都非常重要。

与此对应，中国古代诗歌中的对仗和互文见义是某种对称性的体现。将满足韵律要求的同类意象分别写入上下两句，让表达的内容深刻而别致，且朗朗上口。譬如“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”“鸟宿池边树，僧敲月下门”“身无彩凤双飞翼，心有灵犀一点通”……骈文与律诗推动了楹联的发展，让对仗工整的对联进入千家万户。

读诗与解题

诗歌注重语言与意境。通过读诗结合背景去感受诗人写诗的环境和心境，去理解当时诗人在想什么，做什么。屈原说“惟草木之零落兮，恐美人之迟暮”，其中的美人用于指代君王；崔颢写姑娘“停船暂借问，或恐是同乡”来婉转地搭讪帅哥；朱庆馀的“妆罢低眉问夫婿，画眉深浅入时无”暗藏着询问考试成绩。要读懂诗歌，体会诗歌之美，就要推敲用词之妙，感受“两句三年得，一吟双泪流”；亦要透过现象看本质，体会“假语存、真事隐”。

数学强调本质与意义。解题的过程亦是要透过问题的表象去探索内在的数量规律。爱因斯坦说：“纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。”

“文似看山不喜平”，一个好问题往往需要人的思维拐几道弯才能解答出来。答案往往被隐藏在严密的逻辑推理之后，把握问题的核心才能不被表象所迷惑。比如多面体很多，正多面体只有五种。此外，比如分类问题是数学中很迷人的问题，可以让复杂的问题明朗化，使问题的结构更清晰。举个例子，有限单群分类定理让我们可以更加自如地处理各种有限群的问题。诗云：“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层。”

荀子在《劝学》中說“登高而招，臂非加长也，而见者远；顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰……君子生非异也，善假于物也。”因此，充分利用好数学这个工具，我们方可在科学的道路上奋勇前行，上下求索。