基于兰彻斯特方程离散化的现代海战效能研究

高 鑫

(解放军91404部队,河北 秦皇岛 066001)

随着科学技术的发展,导弹对于水面舰艇的杀伤力越来越大,一枚导弹就可能使舰艇失去战斗力,因此在当代海战中,拦截来自敌方的导弹已成为水面舰艇的首要任务。目前人们通常使用兰彻斯特方程来描述作战过程,该方程通过微分方程的形式,涵盖了交战双方部分参数,来描述敌我兵力损耗情况[1]。但该方程反映敌我双方兵力的损耗为连续性,且无增援条件下的情况,已经逐渐不适应现代海战时间短、导弹少、威力大,兵力损耗呈现“跳跃”性且增援快的特点[2],需要研究离散条件下有兵力增援的情况,而目前国内在该方面的考虑少之又少。本文推导了离散化兰彻斯特模型,对“可见”型海战与“不可见”型海战进行了研究,分析了这两种海战的制胜要素,对于海战的指挥决策具有一定的价值。

1 传统兰彻斯特方程

兰彻斯特方程是由英国科学家兰彻斯特于1914年首次提出的,通过研究冷兵器时代交战过程,建立了微分方程模型,该模型表征了交战双方兵力损耗与战术应用等因素关系[2-3]。传统的兰彻斯特方程由三个规律性描述,即兰彻斯特第一线性率、第二线性率和平方率[4]。

假设a为蓝军在单位时间内对红军的平均毁伤数、b为红军在单位时间内对蓝军的平均毁伤数,x、y为t时刻敌我双方兵力数量的平均数,x0、y0为敌我双方初始兵力数。

兰彻斯特第一线性率适用于冷兵器时代中单兵进行一对一格斗的情形,如式(1)为可见交战双方兵力损耗随时间线性变化[5]。

(1)

兰彻斯特第二线性率适用于敌我舰艇较难发现,只是向某个海域射击,而我方兵力损失,与敌我双方兵力有关,通常此情况称为“间瞄射击”,如式(2)。

(2)

求解式(2)可得

a(y0-y)=b(x0-x)

(3)

由式(3)可知交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与平均毁伤数的乘积。

兰彻斯特平方率适用于敌我两方均采用区域射击,且视线良好的战斗[4-6]。假定敌我两军双方均有大规模兵力参战,火炮和导弹对敌目标实施火力打击,一旦击毁敌方目标,立即转火,打击敌其他目标。双方的射击通常符合泊松分布,如式(4)所示。

(4)

求解式(4)可得,

a(y02-y2)=b(x02-x2)

(5)

由式(5)可知交战一方的有效战斗力正比于其兵力数量的平均数的平方与平均毁伤数平方的乘积,双方损失兵力的速率跟各自兵力数量的平均数没有任何关系。

2 有增援的离散兰彻斯特模型

现代海战可分为2种模式：一是未精确探测到目标位置,只能确定到某个海域的海战,即“不可见”海战;二是敌我双方可精确探测的海战,即“可见”海战[7-10]。同时由于交战双方武器杀伤,交战结果可能受一枚导弹影响,所以兵力损耗通常为离散的,并不适合用传统兰彻斯特进行研究。

2.1 “可见”型海战模型

“可见”型海战模型类似于兰彻斯特平方律模型[10-11],此时假设a为蓝军在单位时间内单枚导弹对红军的平均毁伤数、b为红军在单位时间内单枚导弹对蓝军的平均毁伤,x(n)、y(n)为n时刻红蓝双方兵力数量,x0、y0为红蓝双方初始兵力数,c(n)、d(n)分别为红蓝双方在n时刻的支援兵力。

那么此时红蓝双方交战模型为

(6)

通过迭代可求得

(7)

(8)

直接求解上式是困难的,由于在实际海战中,敌我双方兵力支援一般都不是连续的,体现在双方兵力数量在某些时间点进行变化,而在这些时间点内并无支援。因此,可以先求得红蓝双方在这些时间点内的兵力数量,再在时间点上考虑支援的影响。

在某一小段时间内,假设只有在n+1点,双方有兵力增援,此时有

(9)

当i≤n时;求解式(6)可得

(10)

(11)

当i≥n+1时,求解式(6)可得

(12)

(13)

其中，

(14)

(15)

结合以上公式可得

1) 红蓝双方兵力数量的变化与我方初始兵力有关,我方初始兵力越多,越容易获得战争的胜利;

2.2 “不可见”型海战模型

同理“不可见”型海战模型类似于兰彻斯特兰彻斯特第二线性率模型[10],假设条件类似于“可见”型海战。此时红蓝双方交战模型为

(16)

通过迭代可求得

(17)

(18)

由式(17)、(18)可得

(19)

该公式类似兰彻斯特第二线性率模型,即双方兵力损耗呈线性。该式变形为

(20)

由式(20)可得

1) 红蓝双方兵力损耗与敌我双方的单枚导弹的平均毁伤数有关,我方对敌杀伤性越大,越容易获得战争的胜利;

2) 我方兵力支援越大,敌方支援越少,我方损耗越少,越易得到战争胜利;

3) 在“不可见”型海战中,战斗中兵力的损耗与初始兵力无关,该海战适合于以小博大,以弱胜强。

3 仿真实例

本文已经推导出了“可见”型和“不可见”型海战模型的解析解,得到的兵力损耗和单枚导弹的平均毁伤数和兵力数量的关系并不直观可见,同时兵力支援的数量和时机的关系不易得到,所以需要仿真验证。

3.1 “可见”型海战模型

模型1:在无兵力支援条件下

1) 红蓝双方初始兵力相同,单弹毁伤数不同,如图1所示，即x0=y0=20,a=0.6,b=0.3;

图1 初始兵力相同、单弹毁伤数不同交战

2) 红蓝双方初始兵力不同,单弹毁伤数相同,即x0=20,y0=10,a=b=0.5;

图2 初始兵力不同、单弹毁伤数相同交战

图3 平局条件下的交战

仿真分析:

从该模型可以得到:敌方单枚导弹的平均毁伤数越大和敌兵力数量越多,我方兵力损耗越大,同时启示我们与敌军交战时,导弹毁伤能力的不足可以依靠数量来取胜。

模型2:有兵力支援条件下

1) 红蓝双方初始兵力相同,单弹毁伤数不同,即x0=y0=20,a=0.1,b=0.2;蓝方兵力在i=3时刻支援5，如图4、5所示。

图4 无兵力支援条件下的作战(i=3,d=0)

图5 蓝方有兵力支援条件下的作战(i=3,d=5)

图6 蓝方有兵力支援条件下的作战(i=3,d=10.7931)

图7 蓝方有兵力支援条件下的作战(i=5,d=14.0617)

仿真分析:

3.2 “不可见”型海战模型

该模型的兵力损耗与初始兵力无关,取单弹毁伤数不同,即a=0.1、b=0.2;比较支援情形1、2与无支援条件下的红蓝双方兵力损耗，如图8所示。

其中支援情形1:db/a·c,即蓝方等效支援兵力较多,交战损耗较少,处于优势地位。

仿真分析:

从该模型可以得到:红蓝双方在“不可见”情况下的战损与初始兵力无关,即在看不见条件下,集中优势兵力歼敌的思想并不可取。双方战损受单弹平均毁伤数影响较大,同时如果我方支援兵力属于支援情形1,我方消耗较多,属于支援情形2,我方消耗较少。

图8 “不可见”型海战

4 结束语

根据现代的特点,本文提出了有增援的离散兰彻斯特模型,推导了“可见”型海战与“不可见”型海战模型的数学表达式,并进行了仿真分析,研究结果对我海军作战有一定借鉴价值。但也存在不足：一是未考虑我军舰内部作战能力的异同,二是未考虑排兵布阵对于海战的影响,需要下一步研究。