利用几何画板探究圆内外旋轮线的性质

赵雪娇 宗法永 四川民族学院

现代多媒体教学技术的应用越来越广泛，以黑板和粉笔为主的传统教学模式也因计算机辅助教学软件的运用变得越来越丰富。一个方便学生观察、探索、实验且操作简单、功能强大、小巧便捷的数学软件——几何画板，在几何教学中起到很大的辅助作用。几何画板把传统教学方法与现代教学辅助软件结合起来，动态地表现相关对象之间的几何关系，能将点的轨迹的形成直观地展现出来。

点的运动轨迹是解析几何学习中的重点和难点，对于抽象能力较差的学生，很难从已知条件中发现点的运动规律，更难进一步探索点的运动轨迹。解析几何中“数”和“形”的运动规律和内在关系通过几何画板的各种功能完美地呈现在屏幕上，让学生在点的轨迹的动态探索中培养抽象思维。本文利用几何画板动态作图功能，探究不同半径比值下圆内外旋轮线的性质。

1 圆内外旋轮线的动态作图

（1）圆内旋轮线作法：

1）利用<数据/新建参数>选项，建立参数R=3.60厘米；r=1.20厘米；

2）利用<数据/计算>选项，计算R-r的值，将标签修改为c；

4）任取一点O，以点O为圆心，R，c为半径作同心圆c1，c2；

5）在圆c2上构造点A，以点A为圆心，r为半径作圆c3（此时圆c3外切于圆c1）；

6）在圆c3上构造点P，选中点P、点A，利用<编辑/操作类按钮/动画>，构造动画按钮，在弹出的操作类按钮动画点对话框中修改动画，点A以慢速逆时针方向环绕圆2，点P以慢速顺时针方向环绕圆3，点击确定；

7）选中点P，单击<显示/追踪点>；

8）隐藏圆c2；

9）点击动画点按钮，得到图1。

图1 R=3r时的圆内旋轮线

图2 R=3r时的圆外旋轮线

（2）圆外旋轮线作法：

1）利用<数据/新建参数>选项，建立参数R=2.40厘米；r=0.80厘米；

2）利用<数据/计算>，计算R+r的值，将标签修改为b；

4）任取一点O，以点O为圆心，R，b为半径作同心圆c1，c2；

5）在圆c2上构造点A，以点A为圆心，r为半径作圆c3（此时圆c3外切于圆c1）；

6）在圆c3上构造点P，选中点P和点A，利用<编辑/操作类按钮/动画>，构造动画按钮，在弹出的操作类按钮动画点对话框中修改动画，点A以慢速逆时针方向环绕圆2，使点P以慢速逆时针方向环绕圆3，点击确定；

7）选中点P，单击<显示/追踪点>；

8）隐藏圆c2；

9）点击动画点按钮，得到图2。

2 圆内外轮线性质的探究

修改定圆半径和动圆半径时，圆内（外）旋轮线的分支数及动点的返回位置有所不同。

图3 R=r时的圆外旋轮线

图4 R=2r时的圆内旋轮线

图5 R=2r时的圆外旋轮线

图6时的圆内旋轮线

（4）m为无理数时，外旋轮线有无穷多个分支，动点运动后不返回起始点（如图8）；

图7时的圆外旋轮线

图8时的圆外旋轮线

继续探索不同大圆半径R和小圆半径r的比值，可得如下结论：

（2）当 时，圆内旋轮线为定圆半径；圆外旋轮线有2个分支，每个分支和定圆交点与圆心O所成的夹角为180.°，动点P动点运动2圈后返回起始点；

金大定九年，王重阳云游至掖县，掖县武官人刘长生闻讯前来迎接。早在此年春，刘长生就在邻家墙壁间，人所不及的隐秘处，看到二颂，其中写道：“武官养性真仙地，须有长生不死人。”大字笔力雄劲，墨迹尚新。刘长生看后，心下颇感奇怪。此时与王重阳师徒相遇。重阳祖师相顾而笑，问道：“壁间墨痕，汝知之乎？”刘长生这才恍然大悟。于是提出拜师请求，重阳祖师仍取壁间语意，以长生为之号，处玄为之讳，通妙为之字。时刘长生年21岁，至此，邱、谭、马、刘四大士始得相聚 。

至此世称为“全真七子”的王重阳的七个弟子全部聚齐。

金世宗大定十年，王重阳去逝，享年58岁。马钰等将师父灵柩送回终南山，葬于刘蒋村茅庵，守墓三年乃去。全真七子四方传道，并且各立支派，即：马钰遇仙派、丘处机龙门派、谭处端南无派、刘处玄随山派、郝大通华山派、王处一全真派、孙不二清静派。其中，又以丘处机及其龙门派影响最大。虽各创一派，但宗教思想和修炼方式大致相似，在他们的努力下使王重阳开创的全真道盛极一时。

全真道中所谓“全真”，就是全其本真，就是保全作为人性命之根本的精气神三要素，使其不受染污。人的真心真性本来清静无染，但世人皆被后天的物欲所迷惑，不能识得自心本性，因而流转生死苦海，不得解脱。修行者若能在心地上做功夫，澄心静虑，一念回光，识得自身真性，保持不乱，便可证得无形无相的法身，使精神超越生死之外。