理论力学课程教材研究探讨

丁持坤

摘要：本文介绍了理论力学课程教材研究过程中，在总体把握教材、矢量积及矢量微分、空间曲线、刚体转动、坐标系和非惯性系动力学等方面的几点认识。

关键词：理论力学；教材研究；空间几何；参考系

《理论力学》这门课程是在普通物理《力学》基础上的进一步理论深化，它既有基础理论性质又有应用技术性质，是很多物理专业后续课程的基础。这门课程的教学最大难处在于一个矢量方程中，包含了很多分量方程，尤其是涉及到多维的情况后。要学生能学会，关键在于教师首先要深入研究教材，总体把握教材各部分的联系以及它和物理专业其它课程之间的联系与区别。因此，作者将自己的一些教学经验和对教材的研究把握情况写下来，供读者参考。

一、教材总体把握。现在大部分高校使用的理论力学教材为文献[1]。教材[1]涉及的都是牛顿力学，而国外的力学教材包含的范围更广一些，如文献[2，3]都包含了爱因斯坦力学——相对论性力学。所有力学现象都是在一定的时间和空间里发生的。牛顿力学以时间t为运动轨迹的参数，用三维空间几何来研究物体的运动；而爱因斯坦力学以间隔s为参数，用四维时空几何来研究物体的运动。四维爱因斯坦力学是三维牛顿力学的一个自然延拓。可见，首先就要一定的几何知识做基础，而文献[2]在第一、二章就专门讲几何知识。因此，教师要试图灌输一些几何观念。分析力学部分，包含了拉格朗日力学和哈密顿力学，在后续课程《量子力学》、《电动力学》等课程中有广泛应用。拉格朗日力学用r个自由坐标（称为广义坐标，相应为r维广义空间）来描述物体的运动，哈密顿力学用2r个坐标（广义坐标和对应的广义共轭动量，相应为2r维相空间）来描述物体的运动。2r维的哈密顿力学是r维拉格朗日力学的一个自然拓展。

二、矢量积及矢量微分。矢量叉积A=B×C的分量式：Ai=BjCk-BkCj，ijk对应着123、231、312，如A2=B3C1-B1C3；又如J=r×p，则J1=x2p3-x3p2。矢量的双重叉积J=A×（B×C）的分量式：可以构建张量Tij=BiCj，T?A=∑TijAj，A?T=∑AjTji，则有J= T?A–A?T。矢量r的微分dr和d2r：这实际上就是微分几何的知识了。对于把空间几何结构完全用数来描述，如点和数、线段和矢量、片段和二阶矢量、体段和三阶矢量等，读者可参看文献[2]。dr和d2r总可以分为两部分，沿r的部分和与r垂直的部分。如果r=rer，则dr=drer+rdθeθ，d2r=[d2r–（rdθ）2]er +（2drdθ+rd2θ）eθ，式中θ为r绕其始端转动的角度。

三、空间曲线。主法线、副法线和切线：空间曲线的一点，总可以建立一个局域直角坐标系，这个坐标系的3个轴便是主法线、副法线和切线，和通常的xyz轴一样，只是名称的不同而已。主法线就是z轴，切线就是y轴，副法线就是x轴。zx平面就是曲线的法平面，zy平面就是曲线的密切平面，而xy平面就是曲线的切平面。

四、刚体转动。Euler角：自转角ψ和两个确定自转轴方向的角θ、φ。这里的θ和φ其实与球坐标系下的两个角是一样的意义，完全没必要为是章动角或进动角的名称而苦恼。角速度 =dφ/dt沿空间的固定竖直轴， 沿刚体自转轴， 垂直于前两者构成的平面。进动：自转轴绕空间竖直轴或公转轴的旋进，地球进动周期为26000年。进动使地球北极指向的星星（北极星）不断更换，5000年前是天龙座α星，5000年后将是仙王座α星，而现在是小熊座的α星。章动：英文为nutation，点头的意思。地球的自转轴的“点头”周期为18.6年，而我国古代历法中将19年称为一章，因此将nutation翻译为章动是由来历的。

五、坐标系。直角坐标（x，y，z）的特点是它的单位矢量eiejek不随时间变化，是固定矢量。此时物体的运动方程为xi=xi（t），qα=qα（t），r=r（t）；速度为v= （t）=dr/dt，加速度为a= （t）=d2r/dt2。

自然坐标系（et，en）的特点是它的单位矢量是随时间和空间变化的变矢量，能很好的描述曲線的曲率。此时物体的速度为v=vet，速率v=ds/dt。加速度为a= et +v2/ρ en，其中ρ为轨迹的曲率半径，s为轨迹上某段弧的长度。

六、非惯性系动力学。平动参考系r=r0+r'中，速度v=v0+v'，加速度a=a0+a'。加上惯性力F0=-ma0后，就满足力学不变性原理（principle of equivalence，即在非惯性系中牛顿定律F'=F+（-ma0）=ma'仍然成立）。

转动参考系r=r0+r'中，速度v=v0+v'+ω×r'，加速度a=a0+a'+ ×r+ω×（ω×r'）+ 2ω×v'，式中v'=dr'/dter'，a'=dv'/dter'，ω为参考系转动的角速度。此时就要加上4个惯性力才满足力学不变性原理（F'=F+F0+Fl+Fr+Fc=ma'）：F0=-ma0、惯性离心力Fl=-mω×（ω×r）、变速转动惯性力Fr=-m ×r、Coriolis惯性力Fc=-2mω×v'。

另外，教材[1]中的动量矩，应当改成角动量，因为只有涉及转动情况时才会将线动量去乘以距离。还有，书本的第232页，不要详细讲勒让德变换的数学过程，以免增加学生的负担。对于函数f（x，y），它的全微分df=udx+vdy。如果要变为以u和y为变量的函数g（u，y）时，只需令g=f-ux，则有dg=xdu+vdy，就达到了目的。这是和热力学统计物理中的从内能导出其它热力学函数的过程一样的，参见文献[3]。

结束语：教材研究是一个教师的基本功，首先对课程要有一个总体把握，抓住课程的纲。然后研究不同种类的教材，取长补短，从不同角度去发现力学知识的构建方法。要提高自己的教学能力，就要抓住主要的问题，抓住问题的实质。

参考文献：

[1]周衍柏. 理论力学教程[M].北京： 高等教育出版社， 2007第三版.

[2]D. Hestenes. New Foundations for Classical Mechanics [M]. 科学出版社， 1999年第二版.

[3]H. Goldstein， C. Poole and J. Safko. Classical Mechanics [M]. 高等教育出版社， 2002年第三版.