两步分裂步长时域有限差分法

林智参

摘要：提出一種新的两步分裂步长时域有限差分（TS-FDTD）法，该方法基于Split-Step方案和Crank-Nicolson方案，采用新的矩阵分解形式，与传统的FDTD算法、传统分裂步长时域有限差分法相比，减少计算复杂度，算法的推导简单，提高了计算精度。本文还加入一阶Mur吸收边界条件，给出一阶Mur吸收边界差分方程。最后，通过实例仿真，比较TS-FDTD、传统FDTD方法两种算法的仿真结果，验证了TS-FDTD算法的可行性及其高精度性。

关键词：时域有限差分法；分裂步长；边界条件；精度

中图分类号：TM15 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2018）05-0144-02

时域有限差分法[1]（Finite-Difference Time-Domain-FDTD）是一种简便的电磁波时域分析方法，此方法用Yee氏网格为基础，把电磁场离散化，将麦克斯韦旋度方程差分化，建立差分方程，从而简便有效的处理各种电磁场中复杂的问题，目前已经广泛的应用于电磁场的各个方面。但是，传统的FDTD算法也有不足之处，其推导公式较为复杂，运算过程负担颇大大，因而，人们也从多个方向对FDTD进行改进[2]。本文提出了一种基于Split-Step[3]方案和Crank-Nicolson[4]方案新型FDTD算法，以TM波为例子，采用一种新的矩阵分解方法，来简化运算公式，减轻计算负担。

1 TS-FDTD算法理论推导

选择一无源区域作为研究空间，其中介质均匀无耗并且各向同性，介电常数为ε，磁导率为μ，可将二维TM波麦克斯韦方程组以微分形式表示如下：

在分步2中，电场分量Ez在二维空间四个边界上的一阶Mur吸收边界差分方程式可参考分步1，其形式近似，此处不再展开赘述。

3 实例仿真

本例将TS-FDTD算法用于运算一个二维自由空间TM波传播及电场分布情况，空间的尺寸大小为100cm*100cm，并且采用一阶Mur边界条件，激励源为sin（2*pi*f*t），放置于二维空间的中间位置，激励源的频率为f=1.5GHz。根据FDTD收敛性分析，网格尺寸可取激励源波长的1/20，即Δx=Δy=1cm。设一观察点放置于激励源与边界之间的中心位置。TS-FDTD运算结果仿真如图1、图2、图3和图4所示。其中图1、2、3为TS-FDTD运算过程中Ez场分量的空间分布图，图4为传统FDTD算法和TS-FDTD算法比较图。

从图1-3可以看出，本文提出的TS-FDTD算法可以计算出电场Ez各时间步在平面空间上的分布情况，因此，TS-FDTD是符合麦克斯韦方程组基本理论的。由图4可见，传统FDTD算法求解的观察点电场值达到稳态时间比较缓慢，而TS-FDTD算法所求的电场值基本处于稳定状态，显然，TS-FDTD的计算精度比传统FDTD的要高。

4 结语

本文基于Split-Step方案和Crank-Nicolson方案，采用新的矩阵分解形式，提出一种新的两步分裂步长时域有限差分（TS-FDTD）法，减轻了运算负担，化简推导公式，并且提高了计算精度。还给出了一个TM波运算实例，用matlab对提出的TS-FDTD算法进行编程分析，验证了可行性。

参考文献

[1]葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法（第三版）[M].西安：西安电子科技大学出版社，2011.

[2]孔永丹.基于分裂步长的无条件稳定FDTD算法研究[D].华南理工大学，2011.

[3]Jongwoo Lee， Bengt Fornberg， A split step approach for the 3-D Maxwells equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2003，158：485-505.

[4]Smith G. D.. Numerical solution of partial differential equations： Finite difference methods[M]. 3^rd ed. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series，1986.