双指数跳扩散模型下的复合期权定价

何博雅　刘丽霞

【摘要】复合期权是以标准期权作为标的资产的期权，其在企业融资中有着广泛的应用.本文首先介绍了双指数跳扩散模型，然后在此模型下应用测度变换的方法推导出了复合期权的定价公式.

【关键词】双指数跳扩散模型；复合期权；测度变换

一、引言

金融衍生品的定价是现代金融学研究的核心问题之一.金融衍生品是由某种更为基本的变量派生出来的金融产品.期权[1]是指持有者在将来某一特定时间以某一特定价格买入或卖出某种资产的权利.期权价格是期权多头为了获取未来的某种权利而支付给空头的费用.欧式看涨期权是指期权持有者在将来某一规定时间按照某一提前约定的价格买入某种特定资产的权利，其在到期日$T$的收益为max{S（T）-K，0}.而欧式看跌期权是指期权持有者在将来某一规定时间按照某一提前约定的价格卖出某种特定资产的权利，其在T时刻的收益为max{K-S（T），0}.其中S（T）为资产在到期日$T$的价格，K为期权的执行价格.复合期权[1]是以标准期权作为标的资产的期权，其有4种基本形式，分别是：看涨期权的看涨期权（call on call）；看跌期权的看涨期权（call on put）；看涨期权的看跌期权（put on call）；看跌期权的看跌期权（put on put）.很多学者研究了复合期权的定价，1979年，Geske[2]首次研究了复合期权并给出了复合期权的定价；李荣华、戴永红，和常秦[3]研究了参数依赖于时间的复合期权定价；董翠玲、师恪[4]研究了股票服从跳-扩散过程的复合期权定价模型等.C（t）表示到期日为T2，执行价格为X2的欧式期权C（S（t），T2，X2，w2），则该期权在T1时刻的价格：

C（T1）=e-r（T2-T1）E[max（w2S（T2）-w2X2，0）]，（1.1）

其中w2=±1时C（t）分别为欧式看涨、看跌期权.则以C（t）为标的资产，到期日为T1（T1

V（C（t），T1，K，w1，w2）=e-r（T1-t）E[max（w1C（T1）-w1K，0）]，（1.2）

其中w1=±1，w2=±1时，式（1.1）可分别表示以上四种复合期权.

1976年，Merton用正态跳扩散模型来描述资产价格所发生的变动.它假设股票价格服从复合Possion跳扩散过程，即：

dS（t）S（t-）=（μ-λk）dt+σdW（t）+d∑Nti=1[Vi-1]，（1.3）

其中Vi，i=1，2，…，表示股票价格跳跃比例，是一列非负独立同分布的随机变量，Yi=ln（Vi）～N（μy，σ2y），N=Nt，t≥0是强度为正常数λ的Possion过程，k=E（V-1），且W（t）是标准布朗运动，μ，σ为常数.之后很多人研究了跳扩散模型下复合期權定价，如李翠香、石凌[5]研究了基于随机利率下跳-扩散过程的复合期权定价，虽然Merton的模型已经接近实际的金融市场，但该模型并没有很好地反映出股票收益分布的不对称性和尖峰厚尾性以及波动率微笑.在此基础上，2002年，Kou[6]提出了双指数跳扩散模型，并给出了双指数跳扩散模型下欧式期权定价公式.双指数跳扩散模型指的是资产价格由一个连续变动的几何布朗运动和一个不连续的、跳跃幅度对数服从双指数分布的Possion跳过程组成的模型.和Merton跳扩散模型相比，此模型资产的跳跃幅度是非对称的，其运动是服从无记忆性的，能更好地反映实际市场的情形，并且能够解释期权收益的非对称性和波动率微笑.后来Kou[7，8]等人进一步研究了双指数跳扩散模型下障碍期权、回望期权、美式永久期权的定价.

本文首先介绍了双指数跳扩散模型，然后应用测度变换的方法给出了双指数跳扩散模型下复合期权的定价公式.

二、双指数跳扩散模型

设（Ω，{it}，P）为带有σ-域流{it}的概率测度空间，P为风险中性概率测度.在测度P下，资产价格S（t）服从的过程为

dS（t）S（t-）=（μ-λξ）dt+σdW（t）+d∑N（t）i=1[Vi-1]，（2.1）

其中W（t）是测度P下的标准Brown运动，N（t）是服从参数为λ的Possion过程，ξ是指数随机变量，其均值为η，方差为η2，{Vi}，i=1，2，…是一列独立同分布序列，且与N（t），W（t）相互独立，σ为常数，短期无风险利率r为常数，非负随机变量Yi=ln（Vi）服从非对称双指数分布，且Yi的密度函数为

f（y）=pη1e-η1yI{y≥0}+qη2eη2yI{y<0}，（2.2）

其中η1>1，η2>0，p+q=1，p，q≥0表示跳上或者跳下的概率，即P（Yi=ξ+）=p，P（Yi=ξ-）=q.解式（21）得

S（T）=S（t）er-λξ-12σ2 τ+σ（W（T）-W（t））+∑N（τ）i=1Yi，（2.3）

其中τ=T-t，N（τ）=N（T）-N（t）.

定义2.1[6]令

Z（T）-Z（t）=μτ+σ（W（T）-W（t））+∑N（τ）i=1Yi，（2.4）

Yi服从非对称的双指数分布，Yi的密度函数为式（22）N（t）为服从参数为λ的Possion过程.定义：

Y（μ，σ，λ，p，η1，η2，w1，τ；A）：=P（w1（Z（T）-Z（t））≥A）.（2.5）

引理2.1[5]设Λ（t）是正的Q-鞅过程，且EQ[Λ（T）]=1.定义概率测度P：P（A）=∫AΛ（T）dQ（记为dPdQ=Λ（T））.则对任意随机变量X都有

Ep[X|it]=EQΛ（T）Λ（t）X|it.（2.6）

其中EQ[·]，EQ[·|it]分别表示概率测度Q下的期望和条件期望.

引理2.2[5]设在测度Q下，B（t）为Brown运动，N（t）是服从参数为Possion的过程，Yn的密度函数为m（y），如果：H（t）为平方可积的可料过程； ψ≥0；m（y）≥0，∫+∞0m（y）h（y）dy=1.则

Λ（T）=e-12∫T 0H（s）2ds-∫T 0H（s）dB（s）eλT（1-ψ）∏N（T）i=1ψh（ui），（2.7）

是Radon-Nikodym导数过程.定义测度P：

dPdQ=Λ（T），（2.8）

则有

（1）B～（t）=B～（t）+∫t0H（s）ds为测度P下的Brown运动；

（2）N（t）为在测度P下服从参数为λ～=ψλ的Possion过程；Yn在测度P下的密度函数为h（y）m（y）.

定义2.2若T2，T1时刻的资产价格分别为

S（T2）=S（t）er-λξ-12σ2 τ2+σ（W（T2）-W（t））+∑N（τ2）i=1Yi，

S（T1）=S（t）er-λξ-12σ2 τ1+σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=1Yi，

其中Yi服从非对称的双指数分布，Yi的密度函数为式（2.2），N（t）为服从参数为λ的Possion过程，τ1=T1-t，τ2=T2-t，N（τ1）=N（T1）-N（t），N（τ2）=N（T2）-N（t），μ=r-λξ-12σ2，ρ（σ（W（T2）-W（t））+∑N（τ2）i=1Yi，σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=1Yi）记为ρ，

定义函数Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，t，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2，）：

Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）：

=Pw2lnS（T2）S（t）≥A2，w1lnS（T1）S（t）≥A1.（2.9）

三、双指数跳扩散模型下复合期权定价

定理3.1C（t）表示到期日为T2，执行价格为X2的欧式期权C（S（t），T2，X2，w2），则该期权在T1时的价格：C（T1）=e-r（T2-T1）E[max（w2S（T2）-w2X2，0）]，其中w2=±1时C（t）分别为欧式看涨、看跌期权.则以C（t）为标的资产，到期日为T1（T1

V（C（t），T1，K，w1，w2）

=w1w2S（t）Γ（μ～，σ，ρ，λ～，p～，η1～，η2～，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1w2X2e-rτ2Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1Ke-rτ1Y（μ，σ，λ，p，η1，η2，τ1，w1；A1）.（3.1）

其中，τ1=T1-t，τ2=T2-t，w1，w2=±1，μ=r-λξ-12σ2，μ～=r-λξ+12σ2，λ～=（1+ξ）λ，w2lnX2S（t）=A2，w1lnX1S（t）=A1.

证明令τ1=T1-t，τ2=T2-t，μ=r-λξ-12σ2，w2lnX2S（t）=A2，w1lnX1S（t）=A1，

复合期权V（C（t），T1，K，w1，w2）在t时刻的价格：

V（C（t），T1，K，w1，w2）=e-rτ1E[max（w1C（S（T1），T2，X2，w2）-w1K，0）]，（3.2）

其中w1，w2=±1.

因为看涨期权连续单调递增，看跌期权连续单调递减，故存在唯一的X1[3]，使得C（X1，T1，X2，w2）=K.所以有w1C（X1，T1，X2，w2）≥w1Kw1S（T1）≥w1X1.

因此，在T1時刻，标的期权C（S（T1），T2，X2，w2）的价格为

C（S（T1），T2，X2，w2）

=e-r（T2-T1）E[max（w2S（T2）-w2X2，0）|iT1]

=e-r（T2-T1）E[w2（S（T2）-X2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

=w2e-r（T2-T1）E[（S（T2）-X2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

=w2e-r（T2-T1）E[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

-w2X2e-r（T2-T1）E[I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1].（3.3）

所以，在时刻t复合期权V（C（t），T1，K，w1，w2）的价格为

V（C（t），T1，K，w1，w2）

=e-rτ1E[max{w1C（S（T1），T2，X2，w2）-w1K，0}|it]

=w1e-rτ1E[（C（S（T1），T2，X2，w2）-K）I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1e-rτ1E[C（S（T1），T2，X2，w2）I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

-w1Ke-rτ1E[I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1e-rτ1E{w2e-r（T2-T1）（E[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

-X2E[I{w2S（T2）≥w2X2}|FT1]）I{w1S（T1）≥w1X1}|it}

-w1Ke-rτ1E[I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1w2e-rτ2E[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

-w1w2X2e-rτ2E[I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

-w1Ke-rτ1E[I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=A-B-C.（3.4）

由定义2.1可得，

C=w1Ke-rτ1E[Iw1lnS（T1）S（t） ≥A1|it]

=w1Ke-rτ1P（w1（μτ1+σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=0Y（i））≥A1）

=w1Ke-rτ1Υ（μ，σ，ρ，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）.（3.5）

由定义2.2可得，

B=w1w2X2e-rτ2E[I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}]

=w1w2X2e-rτ2EIw2lnS（T2）S（t） ≥w2lnX2S（t） Iw1lnS（T1）S（t） ≥w2lnX1S（t）

=w1w2X2e-rτ2Pw2μτ2+σ（W（T2）-W（t））+∑N（τ2）i=1Yi

≥A2，w1μτ1+σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=1Yi≥A1

=w1w2X2e-rτ2Γ（μ，σ，ρ，λ，ρ，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）.（3.5）

其中ρ=τ1τ2.

已知在T时刻资产价格S（T）在风险中性测度P下服从

lnS（T）S（t）=r-λξ-12σ2τ+σ（W（T）-W（t））+∑N（τ）i=1Yi，（3.6）

定义Λ（T）=e-12∫T 0σ2ds+∫T 0σdB（s）e-λξT∏N（T）i=1eYi，（3.7）

则Λ（T）是导Radon-Nikdon数，且Λ（T）满足引理21、引理2.2的条件.

Λ（T2）Λ（t）=e-12σ2τ2+σ（W（T2）-W（t））e-λξτ2∏N（τ2）i=1eYi，（3.8）

定义新测度Q：dQdP=Λ（T2）Λ（t）.（3.9）

由引理2.1、引理2.2得，W～（t）=W（t）-σt為测度Q下的Brown运动，在测度Q下，跳扩散过程中的λ～=λ（1+ξ），h（y）=ey1+ξ，Yi的密度函数为

fY～（y）=h（y）m（y）

=ey1+ξ fY（y）

=pη1（1+ξ）（η1-1）（η1-1）e-（η1-1）yI{y≥0}

+qη2（1+ξ）（η2+1）（η2+1）e（η2+1）yI{y<0}

=p～η1～e-η1～yI{y≥0}+q～η2～eη2～yI{y≥0}.（3.9）

其中p～=pη1（1+ξ）（η1-1），η1～=η1-1，

q～=qη2（1+ξ）（η2+1），η2～=η2+1.

令μ～=r-λξ+12σ2，由引理2.1得，

A=w1w2e-rτ2EP[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1w2S（t）EPΛ（T2）Λ（t）Iw2lnS（T2）S（t） ≥w2lnX2S（t）Iw1lnS（T1）S（t） ≥w2lnX1S（t）it

=w1w2S（t）EQIw2lnS（T2）S（t） ≥w2lnX2S（t）Iw1lnS（T1）S（t） ≥w2lnX1S（t）it

=w1w2S（t）e-rτ2Qw2（μ～τ2+σ（W～（T2）-W～（t））+∑N（τ2）i=1Yi

≥A2，w1μ～τ1+σ（W～（T1）-W～（t））+∑N（τ1）i=1Yi≥A1

=w1w2S（t）Γ（μ～，σ，ρ，λ～，p～，η1～，η2～，τ2，w1，w2；A1，A2）.

因此，

V（C（t），T1，K，w1，w2）

=w1w2S（t）Γ（μ～，σ，ρ，λ～，p～，η1～，η2～，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1w2X2e-rτ2Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1Ke-rτ1Υ（μ，σ，λ，p，η1，η2，τ1，w1；A1），

其中，τ1=T1-t，τ2=T2-t，μ=r-λξ-12σ2，μ～=r-λξ+12σ2，λ～=（1+ξ）λ，w1，w2=±1，w2lnX2S（t）=A2，w1lnX1S（t）=A1.

四、总结

本文在资产价格S（t）服从双指数跳扩散模型下，利用带跳的测度变换及鞅方法得到了复合期权的定价.复合期权是以标准的期权作为标的资产的期权，在市场上应用广泛，因此，求复合期权的定价公式很有现实意义.

【参考文献】

[1]约翰·赫尔.期权、期货及其他衍生产品：第8版[M].北京：机械工业出版社，2011.

[2]Geske.Robert.The valuation of compound options[J].Journal of Financial Economics，1979（7）：63-81.

[3]李荣华，戴永红，常秦.和时间有关的复合期权[J].中国工程数学学报，2005（4）：692-696.

[4]董翠玲，师恪.标的股票服从跳-扩散过程的复合期权定价模型[J].新疆大学学报（自然科学版），2005（1）：26-30.

[5]李翠香，石凌.基于随即利率下跳—扩散过程的复合期权的定价[J].黑龙江大学自然科学学报，2012（4）：431-436.

[6]Kou.S.G.A jump-diffusion model for option pricing[J].Management Science，2002（8）：1086-1090.

[7]Kou.S.G and Wang Hui，First passage times of a jump-diffusion process[J].Adv.Applied Probability，2003（2）：504-531.

[8]Kou.S.G and Wang Hui，Option pricing under a double exponential jump-diffusion model[J].Management Science，2004（9）：1178-1192.