一阶微分方程的一题多解

崔伊琳　武海辉

【摘要】本文采用不同的方法对一道一阶微分方程的题目进行求解，并由此體现出初等解法在一阶微分方程求解中的多样性.

【关键词】积分因子法；分项组合；一阶微分方程；常数变易

本文采用五种方法求解微分方程ydx-（x+y3）dy=0.

具体如下：

解法一（积分因子公式法）

由方程知M=y，N=-（x+y3），

又My≠Nx，故原方程为非恰当方程，

又由My-Nx-M=-2y只和y有关，所以原方程有只和y有关的积分因子μ（y）=e∫-2ydy=1y2，

原方程两边同乘1y2得1ydx-xy2+ydy=0，

其中，M=1y，N=-xy2-y，

My=Nx=-1y2，故此方程为恰当方程.

设u（x，y）=∫1ydx+φ（y），则

uy=y∫1ydx+φ′（y）=-xy2-y，

得φ′（y）=-y，则φ（y）=∫-ydy=-12y2+c，

从而原方程的通解为-12y2+xy=c（c为任意常数）.

解法二（观察法）

通过观察得积分因子μ=1y2，将1y2乘原方程两边得

1ydx-xy2+y=0，

即-ydy+ydx-xdyy2=d-12y2+xy，

故原方程的通解为-12y2+xy=c（c为任意常数）.

解法三（常数变易法）

原方程可变形为dydx=yx+y3，

将y看作自变量，x看作因变量，原方程可化为

dxdy=xy+y2，下面分两步进行求解：

（1）先求对应齐次线性微分方程dxdy=1y的解.

由公式x=ce∫p（x）dy得

x=ce∫1ydy=cy.

（2）利用常数变易：

设x=c（y）y为原方程的解，代入

dxdy=xy+y2得

c′（y）y+c（y）=c（y）+y2，

易得c′（y）=y，则

c（y）=∫ydy=12y2+c，

故原方程的通解为-12y2+xy=c（c为任意常数）.

解法四（一阶非齐次线性公式法）

将x看作因变量，y看作因变量，原方程可化为

dxdy=xy+y2，其中，p（y）=1y，q（y）=y2，

由公式x=e∫p（y）dy∫q（y）e-∫p（y）dydy+c得

x=e∫1ydy∫y2e-∫1ydydy+c=y12y2+c，

故原方程的通解为-12y2+xy=c（c为任意常数）.

解法五（曲线积分法）

通过观察得积分因子μ=1y2，将1y2乘原方程两边得

1ydx-xy2+y=0，为恰当方程，用曲线积分法求解.

取x0=0，y0=0，则u（x，y）=∫x01ydx+∫y0-ydy=1yx-12y2，

故原方程的通解为-12y2+xy=c（c为任意常数）.

【参考文献】

[1]赵临龙.常微分方程[M].武汉：华中师范大学出版社，2014.

[2]王克，潘家齐.常微分方程学习指导[M].北京：高等教育出版社，2007.