明晰基本模型掌握问题本质

叶智超

同学们，一元二次方程是解决实际问题的一种重要基本模型.而用方程解决实际问题的本质是寻找实际问题中的相等关系.一元二次方程的相等关系一般为：a×b=c（常量）型，若a、b之间具有联系，则a与b可用含同一个未知量的代数式（一次式）表示，再根据相等关系就可建立一元二次方程.例：矩形的周长为14cm，面积为12cm2，求该矩形长与宽.本题相等关系为：长×宽=12，长与宽之间的联系为：长+宽则长与宽都可用含同一未知量的一次式表示.如设宽为xcm，则长为（7-x）cm，再通过相等关系：长×宽=12，两个一次代数式相乘，就可建立一元二次方程x（7-x）=12.

一元二次方程应用中的基本模型一般有图形的面积（体积）模型、增长率（下降率）模型、销售利润模型3种.

一、图形的面积（体积）模型

例1 如图，我区准备用一块长为60m，宽为54m的矩形荒地建造一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的两个完全一样的矩形区域将铺设塑胶作为运动场地.若塑胶运动场地总面积为2700m2，求通道的宽度.

【解析】本题可将两个矩形区域拼成一个大矩形，则相等关系为：大矩形的长×大矩形的宽=大矩形的面积.故可根据该相等关系设未知数，建立一元二次方程.

【解答】设通道的宽度为xm.根据题意，得（60-3x）（54-2x）=2700.解这个方程，得x1=2，x2=45（不合题意，舍去）.

答：通道的宽度为2m.

【点评】本题是典型的图形面积模型，除了拼接大矩形解决问题，也可用：整个图形的面积-通道面积=塑胶运动场地总面积.同学们在解决此类问题时，只需找到图形之间面积（体积）关系即可.

二、增长率（下降率）模型

例2某电视机厂今年3月的产量为50万台，5月上升到72万台，求该厂平均每月产量增长的百分率.若设该厂平均每月产量增长的百分率为x，则列出的方程是_______.

【解析】电视机厂今年3月的产量为50万台，则4月的产量增加了50x万台，4月的产量为50+50x=50（1+x）万台；5月产量增加了50（1+x）x万台，5月产量为50（1+x）+50（1+x）x=50（1+x）2万台.再根据相等关系——5月产量=72，从而解决问题.

【解答】50（1+x）2=72.

【点评】本题是基本的增长率问题，同学们要理解a（1+x）n的意义，而不是机械模仿，只有真正理解，才能举一反三.

模型变形一：甲、乙两家专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元.已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？

【解析】本题相等关系为：甲店三月份销售额-乙店三月份销售额=10.两店三月份销售情况可用基本增长率问题表示，进而得到正确解答.

【解答】设乙店这两个月的月平均增长率为x，则甲店这两个月的月平均增长率为2x.根据题意，得10（1+2x）2-15（1+x）2=10.解这个方程，得x1=0.6，x2=-1（不合题意，舍去）.答：乙店这两个月的月平均增长率为60%，则甲店这两个月的月平均增长率为120%.

【点评】本题是双增长率问题.两店二、三月份销售额都在增长，二者的增长率存在一定关系，但需要根据相等关系——甲店三月份销售额-乙店三月份销售额=10来解决.

模型变形二：某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜.已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率.

【解析】可根据基本增长率问题用未知数表示亩产量、种植面积，再根据相等关系——亩产量×种植面积=总产量建立方程.

【解答】设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x.根据题意，得10（1+2x）·2000（1+x）=60000.解这个方程，得 x1=0.5，x2=-2（不合题意，舍去）.答：南瓜亩产量的增长率为50%.

【点评】本题是双增长率问题.亩产量与种植面积都在增长，二者的增长率存在一定关系，但解决问题的本质还是要抓住相等关系：亩产量×种植面积=总产量.

三、销售利润模型

例3 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

【解析】本题是典型销售利润模型，相等关系一般为：单位利润×销售数量=总利润.而单位利润=售价-成本，单位利润和销售数量都与涨价或降价有关，从而据此设未知数建立方程.

【解答】假设每件衬衫降价x元，依题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x=10或x=20.∵要尽快减少库存，∴每件衬衫降价20元，商场平均每天可盈利1200元.

【点评】本类问题已知量一般较多，同学们可用下表：____________________________

______________________________________售价 成本_销售数量__________________________________________原来__________________________________________现在

厘清已知量、未知量之间的关系，进而解决问题.

例4某批发商以40元/kg的成本价购入了某产品700kg，据市场预测，该产品的销售价y（元/kg）与保存时间x（天）的函数关系为y=50+2x，但保存这批产品平均每天将损耗15kg.另外，批发商每天保存该批产品的费用为50元.已知该产品每天的销量不超过600kg，若批发商希望通过这批产品卖出获利7000元，则批发商应在保存该产品多少天时一次性卖出？

【解析】可根据相等关系——销售价×销量-成本价×总量-保存费用=获利解决本题.

【解答】设批发商应在保存该产品x天时一次性卖出，可获利7000元.根据题意，得（50+2x）（700-15x）-700×40-50x=7000.解得x1=20，x2=0.当x=0时，700-15x=700＞600（不合题意，舍去），当x=20时，700-15x=400＜600.答：批发商应在保存该产品20天时一次性卖出，可获利7000元.

【点评】本题若根据相等关系——单位利润×销售数量-保存费用=总利润，极易产生如下错误做法：设批发商应在保存该产品x天时一次性卖出，可获利7000元.由题意，得（50+2x-40）（700-15x）-50x=7000.同学们，你能发现它的错误吗？该做法漏减了损耗部分的成本.

四、其他模型

例5学期伊始，初一新生彼此握手，互相介绍自己，某班级同学共握手378次，那么该班级有多少名同学？

【解析】由于甲与乙握手与乙与甲握手重复一次，故每人握手的次数×总人数所得积的一半才是握手总次数.所以本题的相等关系为每人握手的次数×总人数）=握手总次数.而每位同学都需和除自己外的每一位同学握手，所以每人握手次数=总人数-1.

【解答】设班级有x名同学解得x=28，答：该班级有28名同学.

【点评】本题是一道经典问题——握手问题，同学们相应的可以利用该模型探索互送礼物问题、比赛场次问题、已知点的个数确定线段的个数问题、已知两站点确定车票种类等一

小试牛刀

1.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）若两个正方形的面积之和等于12.5cm2，求做成的两个正方形的边长.

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

2.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）.现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的求新品种花生亩产量的增长率.

3.一列火车往返于两城市之间，每次运行停靠若干个站（包括起点站和终点站），故铁路部门共有56种不同的车票发售，求两城市之间共有多少个站点（包括起点站和终点站）.

4.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.