妙用韦达定理巧解根与系数的关系问题

徐菊萍

法国数学家韦达发现一元二次方程的根与系数之间有着某种特殊关系：如果一元二次方程的两根是x1，x2，则x1+x2=用文字语言表述为：一元二次方程中两根的和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根的积等于它的常数项除以二次项系数所得的商.我们称这个结论为韦达定理，妙用韦达定理，常常可以避开繁琐的求解，找到解题的捷径.

一、已知方程，求关于方程两根的代数式的值

例1 若方程x2-4x+1=0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为________.

【解析】方程的根是无理数，若直接代入，计算繁琐.因所求涉及两根关系，可根据韦达定理，整体求得两根和与两根积：由题意得x1+x2=4，x1x2=1；同时还需把给定的代数式经过恒等变形化为含x1+x2、x1x2的形式：x1（1+x2）+x2=x1+x2+x1x2，然后再把 x1+x2、x1x2的值整体代入即可.

【答案】5.

【点评】一元二次方程问题中，出现方程的根的和与积时，常不解方程，直接运用根与系数的关系，将所给代数式恒等变形成含两根和、两根积的形式，再整体计算.

例2 设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1，x2，则________.

【解析】因涉及两根关系，首先考虑韦达定理，但是恒等变形不能出现两根和与积的整体，再观察所求代数式中这个部分的特点，可利用方程的解的定义（方程的解是能够使方程左右两边相等的未知数的值），将方程的根代入原方程，得，再将此结果代回所求代数式=x1+x2，出现了两根和的整体，再用韦达定理.

【答案】∵一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是，故答案为：3.

【点评】对于涉及两根的代数式问题，要善于观察代数式结构，综合考虑韦达定理和方程的解两个要点，构造相应整体求解.

二、已知两根，求方程字母系数的值或取值范围

1.已知两根，求方程字母系数的值.

例3 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1，则p=______；q=______.

【解析】解法一（代入法）：可将两根分别代入方程，得关于p、q的一个二元一次方程组，解这个方程组即可.解法二（韦达法）：已知两根，根据韦达定理，p与两根和有关，q与两根积有关，可得-p=（-3）+（-1）=-4，p=4；q=（-3）×（-1）=3.对比可见，韦达定理此时更胜一筹.

【答案】4，3.

【点评】已知两根求方程中的字母系数，用韦达定理更方便、快捷.

备注：此题给我们提供了已知两根可以创作一个新方程的思路，见下例.

2.已知两根，求作一元二次方程.

例4 以2和-3为根的一元二次方程（二次项系数为1）是_______.

【解析】x1+x2=2+（-3）=-1，x1x2=2×（-3）=-6，若设关于x的方程为x2+px+q=0，根据韦达定理，-p=-1，p=1；q=-6，所以符合要求的一元二次方程是：x2+x-6=0.

【答案】x2+x-6=0.

【点评】求作一元二次方程时，先求两根和与两根积，再根据韦达定理写出一元二次方程的一次项系数和常数项，再写出一般式即可.

3.已知两根关系，求方程字母系数的值.

例5 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2.若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值.

【解析】将两根关系恒等变形成含有两根和与积的形式x2，根据韦达定理用k表示x1+x2和x1·x2，得x1+x2=1-2k，x1·x2=k2-1，再将此结果代入等式，得到关于k的方程（1-2k）2-2（k2-1）=16+（k2-1），解此方程得k1=-2，k2=6.注意：这不是本题的最终结果，一元二次方程的根与系数的关系是以方程有解为前提，即根的判别式b2-4ac≥0.此题，解得因此实数k的值为-2.

【答案】-2.

【点评】已知两根关系，用韦达定理求出方程中的字母系数后，一定要检验：①符合根的判别式b2-4ac≥0；②字母系数如果在二次项系数上，同时要保证二次项系数不为0.

4.已知两根的符号性质，求方程字母系数的取值范围.

例6 已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是_______.

【解析】由方程有两个负数根，关注两个要点：①方程有两个实数根，则Δ=b2-4ac≥0；②两根为负数，则两根积为正，和为负.因此可得如下三个关系：

综上所述：m＞7.

【答案】m＞7.

【点评】Δ=b2-4ac只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考虑x1x2和x1+x2的正负情况.在Δ=b2-4ac≥0的前提下：

三、已知一个根，求另一个根以及字母系数的值

例7 已知方程x2-6x+m2-2m+5=0的一个根为2，求另一个根及m的值.

【解析】类似例3，有两种做法.解法一（代入法）：根据方程根的定义，把x=2代入原方程，列出关于m的新方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；解法二（韦达法）：利用根与系数的关系，x1+x2=6是定值，直接将已知根代入得另一个根为4，再由x1x2=m2-2m+5=4×2=8，解关于m的方程，可得m1=3，m2=-1.

【答案】另一个根是4，m的值为3或-1.

【点评】已知一个根，用韦达定理求另一个根时，需要观察系数特点.若一次项系数是已知数，则用两根和求另一个根；若常数项是已知数，则用两根积求另一个根，再用另一组关系求字母系数.以x1，x2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）为:x2-（x1+x2）x+x1x2=0.