一元二次方程解法综述

杨绪彪

一元二次方程对于九年级教材来说起到了承上启下的作用，即它把一次方程、一次函数、一次不等式上升到二次方程、二次函数及其它们的应用.所以近几年中考数学命题中容易题、中等题、难题都有一元二次方程的身影.下面就一元二次方程的解法做一些分析和探讨，以帮助同学们较好地掌握本节知识.

一、解一元二次方程基本方法

1.直接开平方法.

如果x2=a，a≥0，则x=± a，x1= a，x2=- a.

2.配方法.

把一个一元二次方程变形为（x+h）2=k（h、k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解.

3.求根公式法.

4.因式分解法.

将一元二次方程变形为：（x-a）（x-b）=0的形式，得出：x1=a，x2=b.

二、例题解读

1.直接开平方法.

例1 解方程：9（3x-2）2=64.

【解析】这是一道典型的解方程题，我们需要将原方程两边都除以9，即再直接开平方，计算即可.

解：9（3x-2）2=64

【点评】本题考查了大家的基本运算能力，需要认真计算，尽量避免计算失误导致的错误.

2.配方法、公式法.

例2 解方程：（x+1）（x-3）=-1.

【解析】看到这样的题，首先分解（x+1）（x-3）为x2-2x-3.这时候有些同学反应比较快，发现用配方法可以把题目解出来，将原式化为x2-2x+1=3，再将式子完全平方，即可算出；而有些同学遇到这样的题不知道用什么简单的方法，只好用求根公式算出.

【点评】本题可一题多解，考查了大家是否有意识判断使用哪种方法最佳.大家如果不能判断的话，可用公式法.

3.因式分解法.

例3 方程x（x-3）=x-3的根是_______.

【解析】这是一个填空题.我们可以先将原方程写为x（x-3）-（x-3）=0，然后提取公因式（x-3），即为（x-3）（x-1）=0，最后写出结果：x1=3，x2=1.

【点评】本题主要考查了因式分解法.同学们要注意符号，不要把答案写成-3、-1.

三、提高综合类

例4 已知2x2-3xy+y2=0，则的值为_______.

【解析】从形式上看，本题不好解，但是认真分析题型发现，可以通过变形将它化为一元二次方程.

解：原方程变形为

例5 阅读材料：为解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我们将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，原方程变形为y2-5y+4=0①，解之得y1=1，y2=4.

当y=1时，x2-1=1，解得：

当y=4时，x2-1=4，解得

在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法，达到降次的目的，体现了数学中的整体思想.解答问题：解方程x4-x2-6=0.

【解析】设x2=y，则原方程变形为y2-y-6=0，解之得y1=3，y2=-2，因为x2≥0，所以x2=3，即x1= 3，x2=- 3.

备注：大家解答本题时既要换元，又要注意y值的符号，做题时需要特别小心谨慎！

四、复习巩固

1.填空.

已知关于x的方程（k2-1）x-k2+k+2=0，k为实数，当k_____时，方程有唯一解；当k

______时，方程无解；当k______时，方程有无穷多解.

2.选择.

（1）方程x3-5x2+6x=0的根是（ ）.A.0、-2、-3 B.0、2、3

C.0、1、-6 D.0、-1、-6

（2）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）.

A.20% B.25% C.50% D.62.5%

参考答案：1.k≠1；k=1；k=-1.2.（1）B；（2）C.