基于Logistic混沌映射的数字图像加密算法＊

郑继明，汤智睿，邓建秀，林姚



基于Logistic混沌映射的数字图像加密算法＊

郑继明，汤智睿，邓建秀，林姚

（重庆邮电大学理学院，重庆 400065）

针对图像信息传输的安全问题，运用混沌映射加密理论，提出了一种新的数字图像加密算法。该算法运用Logistic-control-Logistic（LCL）混沌映射生成混沌序列，并结合SCAN模式对图像进行置乱，再对图像进行多方向扩散。实验与加密性能分析表明，该算法具有很好的安全性，且执行效率高，容易实现。

图像加密；LCL混沌映射；SCAN模式；多方向扩散

使用互联网传输数字图像具有方便快捷、开支小等优点，但美中不足的是，数字图像在网络上传输存在许多安全隐患。如何保证数字图像的安全传输是备受人们关注的问题。由于图像数据量大、强冗余性、相邻像素间的强相关性以及现在图像攻击技术的快速发展，传统的图像加密算法已不能满足实际需要。

混沌系统具有不确定性、不可预测、非周期和初值敏感性，这正是密码学中密钥和密钥流寻求的特性。许多学者开展了基于混沌理论加密的研究，得到了一些有效的加密方法。文献[1-3]中提出，将SCAN模式用于图像加密，且在加密过程中使用具有扩散性的随机序列；利用Logistic混沌序列的随机性、对初始条件敏感和迭代不重复的特性，得到了一些基于Logistic映射的数字图像加密算法[4-5]；Hua[6]通过对混沌映射的参数进行动态控制，使原混沌系统具有更复杂的混沌行为；文献[7]用高维混沌系统对图像加密，Akram[7]将SPN与混沌理论融合，设计出新的算法用于图像加密；文献[8]将2个一维混沌映射融合为二维的混沌映射对图像进行了加密；Wang[9]使用混沌映射对彩色图像加密；Liu[10]通过变化参数改进 Baker映射，增强了初值的敏感性，通过动态参数的映射加密图像，使算法能够有效抵抗相空间重构攻击。Logistic混沌映射表达式简单且性能优良，非常适合数字图像加密。但是，该映射存在不动点、稳定窗等不足，产生的混沌序列不能保证图像加密足够安全。本文基于LCL映射、SCAN模式提出了一种新的图像加密算法，该方法具有较大密钥空间。仿真结果表明，该算法能有效抵抗差分攻击、暴力攻击等，具有较高的安全性。

1 Logistic与Logistic-control-Logistic映射的混沌特性

经典的Logistic映射是一个一维离散时间非线性映射，其表达式为：

n＋1＝4n（1－n）. （1）

式（1）中：∈[0，1]为映射的参数；n∈[0，1]。

当∈[0.9，1]时，Logistic映射具有混沌特性。

LCL映射是基于Logistic映射的组合映射，它使用一个Logistic映射动态控制另一个Logistic映射的参数。图1（a）给出了LCL的结构，其中，1（）、2（）均为Logistic映射，（）为变换函数。1（）生成序列控制2（）的参数，称为控制映射；2（）为最终产生混沌序列的映射，称为种子映射；变换函数（）将1（）的输出映射到2（）参数的混沌范围，使得种子映射2（）总是具有混沌行为。

LCL的数学表达式如下：

在式（2）中，1（）的输出为[0，1]，而2（）的参数混沌范围约为[0.9，1]。变换函数（）是将1（）的输出映射到2（）参数的混沌范围，即（）：[0，1]→[0.9，1]。为了简化计算，定义变换函数（）为下面的线性函数，即：

n＋1＝1－0.1n＋1. （3）

分别将式（1）、式（3）代入式（2），则可得：

任意给定初始值x0，y0以及常数μ的值，可由式（4）生成一组混沌序列｛xn｝。图1（b）给出了LCL映射的李雅普诺夫指数（LE）值。

2 置乱与扩散模式

2.1 SCAN模式置乱

以原图中小块1，1为例，采用索引排序对序列排序，得到置换序列，从而将小块1，1表示成二维数组，选取{二次对角型，连续正交型，平行对角线型，螺旋型}扫描模式，经过2次，将得到的图像序列表示成二维数组，结果如图2所示。

图2 二维数组置乱示例

在此需要注意，由于每一次置乱都是在块内进行，因此，需要通过螺旋矩阵再对整幅数字图像进行整体置乱，使每个像素可能出现在任何位置。

2.2 多方向扩散

传统的扩散方式是1个像素点或2个像素点单方向地向下一个像素点扩散。为了获得较好的扩散效果，这种扩散方式往往周期比较长。本文设计多方向扩散机制，1个像素点从4个不同的方向朝4个像素点方向扩散，以缩减扩散周期，获得高效的加密算法，具体扩散方式如下：

3 加密算法设计

图3 算法流程图

4 实验结果及加密性能分析

利用本文提出的算法对Lena图进行实验，原始图像及其灰度直方如图4（a）、图4（c）所示，原始图像加密后效果及加密后灰度直方图如图4（b）、图4（d）所示。

4.1 密钥空间

加密图像能否抵抗穷举攻击与密钥空间的大小有关，只有足够大的密钥空间，才能抵抗穷举攻击。本算法中共有7组密钥，共21个密钥，令每个密钥的最大精度为10－14，那么，密钥空间大小为：（1014）21＝10294.在相同精度下，本算法的密钥空间远大于文献[2]的密钥空间，具有更高的安全性。

图4 实验结果

4.2 密钥灵敏度分析

对其他密钥进行相应的改变时，也可以得到类似的解密结果图。从图5（a）、图5（b）、图5（c）中可以看出，当密钥中的任何一个进行10－14级的微小改动时，解密结果图与原始明文图像完全不同。这说明，本文的加密算法能够抵挡各种敏感性攻击。

4.3 相关性分析

图4（a）原始图像水平、垂直和对角方向的相关性分别如图6（a）、图6（b）、图6（c）所示，采用本算法加密后，水平、垂直和对角方向的相关性分别如图7（a）、图7（b）、图7（c）所示。

图7 加密图像相关性

从图6和图7中可以明显看出，原始图像3个方向上的像素具备较强的相关性。经过本文所示的算法加密后，像素之间基本不具备相关性。

4.4 信息熵测试

图像的信息熵可以度量灰度值的分布，结果显示，信息熵越大，其灰度分布越一致。对于理想的随机图像，其信息熵等于8.

本文加密图——图4（b）的信息熵为7.997 4，已经比较接近理想值8，即加密之后图片灰度分布较一致。

4.5 像素改变率和一致平均改变强度

像素改变率（NPCR）和一致平均改变率（UACI）用于测试整个加密图中一个像素改变的影响。本文将每个图像的第一个像素的灰度值减少5，以Lena为例计算出像素的改变率为99.630 7，一致平均改变强度为33.402 6.

表1给出了本文算法与文献[7-9]关于相关性、信息熵、像素改变率和一致平均改变率的对比结果。

表1 本文算法与文献[7-9]的结果对比

加密图像文献[7]文献[8]文献[9]原始图像 相关性分析水平0.003 3－0.004 8－0.006 60.002 00.949 2 垂直0.003 8－0.011 2－0.008 90.003 80.970 5 对角0.002 5－0.004 50.042 4－0.001 90.960 7 信息熵7.997 47.996 37.996 57.997 1 NPCR99.630 799.622 899.609 299.586 4 UACI33.402 633.704 133.632 233.253 3

5 结束语

本文给出了利用LCL映射对图像加密的算法，通过LCL混沌映射，加密算法具备了更大的密钥空间。在置乱阶段，先使用SCAN模式进行块内置乱，再用螺旋矩阵进行整体置乱；在扩散阶段，控制每个像素点直接扩散到4个像素点，有效地减小了像素点的相关性。从仿真结果与性能分析中可以看出，像素之间的相关性变得非常小，像素改变率和一致平均改变强度达到了比较理想的结果，且本算法具有较高的安全性。

［1］Maniccam S S，Bourbakis N G.Image and video encryption using SCAN patterns［J］.Pattern Recognition，2004，37（4）：725-737.

［2］Bourbakis N，Alexopoulos C.Picture data encryption using SCAN patterns［J］.Pattern Recognition Journal，1992，25（6）：567-581.

［3］Bourbakis N.Image data compression encryption using G-scan patterns［C］//IEEE Conference on SMC.Orlando： FL，1997：1117-1120.

［4］王琳娟.基于Logistic映射的多重图像加密技术［J］.科学技术与工程，2011，11（8）：1671-1815.

［5］黄胡晏，绕从军.一种新型混沌图像加密算法［J］.华中师范大学学报，2017，51（4）：441-448.

［6］Hua Zhongyun，Zhou Yicong.Dynamic Parameter-Control Chaotic System［J］.IEEE Transactions on Cybernetics， 2016，46（12）：3330-3341.

［7］Akram Belazi，Ahmed A Abd El-Latif，Safya Belghith.A novel image encryption scheme based on substitution-permutation network and chaos［J］.Signal Processing，2016，128（11）：155-170.

［8］Hua Zhongyun，Zhou Yincong，Pun Chi-Man.2D sine logistic modulation map for image encryption［J］.Information Sciences，2015，297（C）：80-94.

［9］Wang Xingyuan，Teng Lin，Qin Xue.A novel colour image encryption algorithm based on chaos［J］.Signal Processing，2012，92（4）：1101-1108.

［10］Liu Lingfeng，Miao Suoxia.An image encryption algorithm based on Baker map with varying parameter［J］. Multimedia Tools and Applications，2017，76（15）：16511-16527.

郑继明（1963—），男，四川简阳人，教授，主要从事数学建模方法研究。汤智睿（1997—），男，四川广安人。邓建秀（1997—），女，四川内江人。林姚（1995—），男，四川绵阳人，信息与计算科学专业本科生。

重庆邮电大学大学生科研训练项目（编号：A2017-70）资助

2095－6835（2018）18－0008－04

TP309.7

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.18.008

〔编辑：白洁〕