模糊离差

罗扬华

摘 要 本文对投资组合量化问题做出了一些模型，对投资组合风险度量进行一定的研究，也给出了模糊离差——熵来度量风险的方法，这个方法由收益率的期望和离差消除投资分配的不确定性。于是就建立了熵度量风险的组合投资优化模型，得出该模型能很好的计算到了证券市场决策中各种各样的影响因素，也能说明作投资就要分散风险这一想法，如果预期收益到达一定水准时，这能给投资者们提供了一个更加科学安全的投资方法。

关键词 模糊离差 熵 投资组合优化实证分析

中图分类号：F830.91 文献标识码：A

1模糊熵的概念和性质

1968年Zadeh在提出模糊集概念的基础上首次定义了伴随概率分布的模糊熵。

假定（L=…，一下所有L都成立）为一个有限模糊集合，对应的概率集合，则模糊熵公式为：

（1-1）

其中，为模糊集合的隶属度函数。

若存在另一独立有限模糊集合，对应概率集合为，则存在：

（1-2）

其中，

在此基础上，1972年De Luca和Termini对Zadeh的模糊熵表达式进行了修正，提出了只依赖于可能性理论的模糊熵表达式。

加入n个事件，而且规定每次就只能有一件事发生，那么只要最终结果不是已经被认定为0或者是1的话，则可以当作存在模糊不确定性，设 的隶属度为，，，定义模糊熵：

（1-3）

1.1基于模糊熵的投资组合模型

一般来说，风险资产出现也就是一開始的组合投资期望收益相比较无风险收益来说是要高的，这样的话就会给人带来很高的收益同时也要付出让人痛苦万分的风险。所以对于投资者能否准确的判定价格走势也就意味着能否风险远离投资者的关键所在。

假设一组模糊变量代表不同证券的模糊收益状况代表不同证券的投资比例。

2000年Tanaka在MV模型的基础上建立了模糊环境下的MV模型：

（1-4）

其中，代表模糊环境下的方差，代表模糊环境下的期望收益率。

进一步地，模型可改写为：

（1-5）

其中代表第i种证券的模糊收益期望，代表第i种证券模糊收益的方差。

考虑到方差指标依然存在诸多缺陷，2008年Huang在Liu和Zhang的基础上建立了模糊熵模型.定义离散变量的模糊熵：

（1-6）

其中 （1-7）

依循MV模型的思想建立如下两种模型，第一种是在给定风险水平下，以最高收益作为目的的函数的模型：

（1-8）

第二种则是以固定的收益水准下，最小风险作为目的的函数的模型：

在该模型中，模糊熵代表着收益分布，想要收益分布集中就要求得它的最小值，值越小收益分布越集中。一般来说，处理非公制数据使用模糊熵组合投资是更为明智的做法，这也从侧面反映出模糊熵更有优越性。但是，对于现实生活中，前辈们的一些均值模型要求得最优组合会出现各种失衡问题，让过多的投资资金放在少数证券上是非常不聪明的做法，这跟分散风险是背道而驰的。则，我们可以建立模型来分析这些问题。

2基于离差——熵度量风险的组合投资优化研究

2.1离差——熵模型的建立

假如金融市场上可进行操作的证券有 N种，投资者在里面选种进行组合投资。表示第 i种证券的收益率， 表示第 i种证券的投资比例，则均值离差模型为：

（3-1）

该均值离差模型体现出了当投资者的收益水准达到u0时，则投资组合风险就能达到最小，其中风险度量为收益平均绝对离差。为证券的收益率， 为投资比例，因为证券收益率是随机变量，所以投资比例也是随机变量。那么该模型可以认为是第i种证券投资概率，那么就是第n种证券投资的概率分布律。则当模型达到时，那么它的结果拥有不确定性。用熵来衡量决策行为的不确定性是完全没问题的，而且不确定性的大小就是度量，想要收益稳定就要让这些不确定性远离我们。描述投资分配不确定性的熵极大化，即：

（3-2）

因此，当期望收益的水准保持一定的值，而却还要对自己的投资分配比例了解的清清楚楚，此时想要收益平均绝对离差风险变小，那么：

（3-3）

另一方面为使收益稳定，还需要考虑式（3-2），于是建立如下证券组合投资的离差-熵模型：

（3-4）

投资者一开始期望的收益水准若有不确定性，那么一定是收益的平均绝对离差也存在不确定性，该模型的风险度量则是这两者的不确定性，以投资者的收益为作为首要条件，若想要投资组合风险是最小，那么这是一个多目标的规划问题。设为第 i种证券在第期随机变量的实际值， 用样本数近似代替

于是模型（3-4）转化为

（3-5）

模型（3-5）可化为等价的多目标规划问题：

（3-6）

为解此模型，可将其转化为如下单目标规划问题：

（3-7）

若，那么它的风险度量是收益的平均绝对值，而且该模型会变成模型（3-1）。式中是参数，由实际问题以及计算方便程度等情况来取值，这是风险的平衡系数。

3结论

本文对投资组合量化问题做出了一些模型，对投资组合风险度量进行一定的研究，也给出了模糊离差——熵来度量风险的方法，该方法由收益率的期望和离差消除投资分配的不确定性。则建立了熵度量风险的组合投资优化模型，得出该模型能很好的计算到了证券市场决策中各种各样的影响因素，该模型也能说明作投资就要分散风险的想法，如果预期收益到达一定水准时，这能给投资者们提供了一个更加科学安全的投资方法。

参考文献

[1] Zadeh，L.A. Probability measures of Fuzzy events[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications，1968， 23（02）：421-427.

[2] Luca，A.D.&S.Termini.Algebraic; properties of fuzzy sets[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications， 1972， 40（02）：373-386.

[3] Tanaka.K.Stable Switching Fuzzy Control and Its Application to a Hovercraft Type Vehicle[J]. FUZZ-IEEE 2000， 2000.

[4] Huang，Z.&Q.Shen.Fuzzy; Interpolation and Extrapolation： A Practical Approach[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2008， 16（01）：13-28.