3-RPS并联机器人动力学分析及控制

梁 超，高宏力，彭志文，文 刚

（西南交通大学 机械工程学院，四川 成都 610031）

1 引言

目前，并联机器人的机构刚性、承载能力、运动控制性能均优于串联机器人，故其广泛应用于医疗器械、武器、并联床等行业。因此，对并联机器人的研究是很有必要的[1]。但并联机器人具有较强的非线性及耦合性的特点，且机构越复杂，自由度越高其耦合性越突出，对其实现高精度控制也越困难[2]。采用的3-RPS并联机器人是在Stewart六自由度并联机器人的基础上发展而来的[3]。具有三个自由度，故其机构的耦合性弱于Stewart，可适用于某些对控制精度要求较高又不需要高自由度的场合[4]。涉及的3-RPS并联机构分别由三组转动副、移动副、球面副并联于上下平台而构成的[5]。通过改变三个移动副的位移使上平台产生上下移动、左右摇摆、前后俯仰三个自由度。

并联机器人具有复杂的数学计算性，其机构多为高自由度、高非线性、高度耦合的特点[6]。目前，主要应用于并联机器人的建模方法有Lagrange法、Newton-Euler法、Kane法、Gauss法及虚功原理法等[7]。采用Newton-Euler法建立机构的逆动力学模型，并利用Simulink及Simmechanics对模型的准确性进行了验证。

由于并联机器人具有很强的非线性及存在未建模误差，故对其实现高精度控制较为困难。当前广泛应用于并联机器人控制算法的有计算力矩控制等[8]，但由于没有考虑到系统的未建模误差导致系统的控制精度不高。基于Lyapunov理论采用不确定性鲁棒控制方法，充分考虑系统的不确定性，基于系统定义的标称模型设计系统的计算力矩控制方法作为镇定标称系统，基于Lyapunov函数设计系统的鲁棒补偿控制器以补偿系统不确定性及为建模误差引起的系统控制误差。使用Matlab/Simulink软件对所设计的鲁棒控制系统进行仿真，并与传统的计算力矩进行了对比试验，结果证明鲁棒控制的控制精度优于计算力矩控制。

2 动力学分析

3-RPS的机构简图，如图1所示。其下平台A1A2A3位于半径为R的圆内接等边三角形的三个顶点，通过转动副与移动副相连，且转动副的轴线与圆相切。上平台B1B2B3位于半径为r的圆内接等边三角形的三个顶点，通过球面副与移动副相连。机构动作时，通过驱动移动副的主驱动关节实现上平台产生上下位移z、左右摇摆α、前后俯仰β三个自由度。

图1 3-RPS机构简图Fig.1 3-RPS Mechanism

2.1 动力学模型的建立

分别以上下平台的圆心P，O为原点建立动坐标系P-xyz和定坐标系O-XYZ。以向量为Z轴的方向向量为X轴方向，Y轴由右手定则确定。同理确定动坐标系P-xyz。以Ai为原点建支链坐标系 A-xyz向量方向为zi轴方向，转动副的轴线为yi轴。

iiii假设机构的各个构件为刚性体，且忽略各转动副及移动副间的摩擦阻力。利用Newton-Euler方法构建系统的逆动力学模型[9]；

联立式（1）～式（3）代入式（4）可得系统的动力学方程：

式中：mp、m2—上平台及活塞杆的质量和定坐标系下的加速度，g=（0，0，-g）c为重力加速度；F、N—平台载荷及合外力矩；θi—移动副与动坐标系Z轴的夹角—直支链坐标系相对于定坐标系、动坐标系的旋转矩阵—各球面副中心在上平台的位置向量—上平台在动坐标系下的合力矩；Ai—在支链坐标系下的合力矩—支链 i关于 Ai的合角动量；M（q）—正定惯性矩阵柯氏及向心力矩阵的非线性耦合项；G（q）—重力矩阵，q=（z，α，β）T。

2.2 机构逆动力学仿真模型

Simulink具有逻辑结构清晰、仿真效率高、结构准确且非常适合于动态系统的建模与分析。故通过使用Simulink来构建系统的子函数模块以及利用Simulink中便利的矩阵运算来实现系统逆动力学方程程序的编写，方便实现系统仿真运行的高效性及准确性，为进一步系统控制仿真奠定基础。其逆动力学Simulink模型，如图2所示。Simmechanics是基于Simulink的机械系统建模软件，通过约束、驱动其中的关节及移动副等，可实现机构按照预先设定的轨迹进行运动，且Simmechanics中提供了大量的传感器模块，为机构的运行监测及反馈控制提供了便利。系统Simmechanics建模示意图，如图3所示。

图2 Simulink系统逆动力学模型Fig.2 Inverse Dynamics Model of Simulink System

图3 系统Simmechanics建模Fig.3 System Simmechanics Modeling

3 鲁棒控制器设计

由式（5）可知并联机器人是一类具有高耦合性及非线性较强的系统，易受到环境因素及模型不准确的影响。在传统的计算力矩控制器中通过系统反馈的速度、加速度与输入的理想速度、加速度之间的差值再基于系统的标称模型PD调节系统的质量矩阵分项。其忽略了系统本身模型的不确定性及非线性因素。基于Lyapunov函数设计了一种鲁棒控制方法，通过在计算力矩控制的基础上增加一项鲁棒控制器，用以抵消由于系统模型的不确定性及非线性而引起的系统稳态误差，有效的改善了系统的控制精度，通过仿真结果证明了本系统的有效性。

由式（5）考虑具有外部干扰f∈Rn的的动力学方程：

具有如下性质：

性质1对于正定矩阵M（q）及其逆矩阵M-1（q）对∀q∈Rn一致有界。

性质2动力系统可通过如下方程表示：

式中：α—系统参数的一个 m 维向量，Y（q，q˙，q¨）—n×m 的矩阵。设计的鲁棒控制律为[10]：

由式（8）可知，令：

将式（2）、式（7）、式（8）代入式（6）可得：

在常见的鲁棒控制律被应用于机器人控制的文献中，广义误差项常被定义为x=［e，e˙］T，其所定义的误差方程为2n阶，而采用的鲁棒控制律设计所定义的误差方程γ~为n阶。

由式（10），选取k2满足Lyapunov方程

式中：P—正定矩阵，且Q=QT≥0。构造系统的Lyapunov函数为：

则对其时间求导，将（10）式代入可得：

设非线性控制律μ：

由式（11）及系统不确定项φ得：（φ+μ）＜0；

故：V˙（t，x）＜-xTQx＜0

若系统满足Lyapunov方程，选取k1使得Re［λi（-k1）］＜0，i=1，2，…，n。

因此，由Lyapunov稳定性定理可知采用鲁棒控制律（11）可使系统全局稳定。

4 系统仿真算例

对3-RPS并联机器人的跟踪误差进行测量，以检验所设计的基于计算力矩镇定标称模型的鲁棒控制算法的控制性能。因此，通过使用Matlab软件对文中所设计的控制系统进行了动力学控制系统仿真。系统的物理参数，如表1所示。

表1 系统物理参数Tab.1 System Physical Parameters

根据系统物理参数模型，且符合一般性，设系统的输入轨迹q 为：q=［0.6+0.1sin（2t），0.15sin（t），0.1sin（t）］T。

根据（6）式所建立的动力学模型，采用2.2节中所建立的Simulink及 Simmechanics系统仿真模型，采用式（8）、式（11）基于计算力矩镇定控制的鲁棒控制律，设计系统的控制算法。并设计了系统的计算力矩S控制器。对比了计算力矩和所设计的控制算法对理想轨迹的跟踪精度。其仿真结果，如图4所示。

图4 Z方向的跟踪轨迹Fig.4 Tracking Trajectory of Z Direction

由图4可知，系统在采用计算力矩控制时，在Z方向的最大误差精度为2.13%，在α及β角方向的跟踪误差分别为1.67%、1.15%；采用所设计的鲁棒控制律，在Z方向的最大误差精度为0.47%，在α及β角方向的跟踪误差分别为1.46%、0.92%，如图5、图6所示。因此基于计算力矩标称镇定的鲁棒性控制系统，在计算力矩的基础上进一步提高了系统的控制精度。尤其是其在Z方向的跟踪误差具有较为显著的改善，因为当系统在Z方向移动时，通过直接检测上平台的位移信号值即可，对Z方向的误差的敏感度较高故在较小位移误差的条件下仍能达到较高的控制精度。而上平台检测到的角度是通过各个活塞杆间位移差来实现，其对角度误差的敏感度较低。

图5 α角跟踪轨迹Fig.5 α Angular Tracking

图6 β角跟踪轨迹Fig.6 β Angular Tracking

5 结论

运用Newton-Euler方法构建对3-RPS并联机器人的逆动力学模型，并对其进行逆动力学控制，比较了当前常用于并联机器人的计算力矩控制策略与基于计算力矩标称镇定的鲁棒控制策略。经仿真验证得，所采用的基于计算力矩标称镇定的鲁棒控制策略，所设计的鲁棒控制器对于控制3-RPS并联机器人的稳定误差精度优于计算力矩控制；基于计算力矩策略的鲁棒控制模型充分考虑了系统动力学标称模型而引起的系统未建模误差，优化了系统动力学模型；在检测上平台的位姿时改进了检测方法：通过对3-RPS并联机器人上平台位姿进行直接检测，而非采用传统的通过检测移动副的位移换算而得到系统平台的位姿，有利于对平台的位姿进行监测控制。