利用几何变换巧求图形面积

洪倩

几何变换包括旋转变换、平移变换、轴对称变换等变换形式，通过几何变化巧求图形面积，往往能达到化难为易的效果。

一、旋转变换

在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。在利用几何变换求面积的几种变换中，旋转变换最常用。求几何面积的诸多问题中，如果用常规解法往往过程繁琐，甚至会出现学生现有知识无法解答的情况。这个时候我们就需要另辟蹊径，借助旋转变换进行解答。

例1 如图1，△ABC是直角三角形，四边形ACDE、FGBA都是正方形，AB=3cm，BC=4cm，求△AEF的面积。

解析：

在这里，很多人在一开始看到此类题目，首先会利用勾股定理算出AC的长度，然后无从下手，或者构造三角形，利用三角形全等来解决。

如果我们利用旋转变换的思想，就可以化简为易。

将△ABC逆时针旋转90°，使AC和AE重合，得到△AME

（因为∠EAC=∠FAB=90°，所以∠EAF+∠BAC=180°，F、A、M在同一条直线上）

S△EFA=S△EAM=3×4÷2=6cm2

例2 如图3，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10cm，DC=7cm，求阴影部分面积。

解析：

将三角形CED绕D点逆时针旋转90°。（如图4）

使得E与F重合，则C点落到线段AB与G点，阴影部分面积转化为Rt△BGD的面积

所以阴影部分面积为：10×7÷2=35cm2

二、平移变换

在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动。平移是几何变换的一种，利用平移对图形中有关部分进行变换，将其余部分保持不变，为题目所求变换，化不利条件为有利条件，巧求图形面积。

例3 如图5，六边行ABCDEF中，AB=ED， AF=CD， BC=EF， 且有AB//ED， AF//CD， BC//EF， 对角线FD垂直于BD，已知FD=24cm，BD=18cm，求六边行ABCDEF的面积是多少平方厘米？

例题解析：

将△BCD平移，使得CD与AF重合，将△DEF平移，使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG上，组成了一个长方形BGFD（如图6），它的面积与原六边形的面积相等，即为：24×18=432cm2

三、對称变换

如果一个图形沿着一条线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。对称变换也是几何变换的一种，利用图形对称进行变换，巧求几何面积。

例4 如图7，直角梯形ABCD中，AD//BC， AB垂直于BC， 四边形DEFC是菱形， AD=3cm， AB=4cm，求阴影部分面积。

例题解析：

将△ADE关于AD对称翻转至△ADC（如图8）

（四边形DECF是菱形，即翻转后DE与DC重合，得到△ADC）

S阴影=3×4÷2=6cm2

在利用几何变换求面积时，并不需要把整个图形进行变换，只要找到图形间的隐蔽关系，把图形的有关部分进行变换，其余部分保持不变，使之成为简单易算的特殊图形，这就是利用几何变换解题的基本途径。在这个过程中考察的不仅仅是计算能力，更多的是观察、操作、想象能力，通过观察汇聚有利条件，化简为易，迅速破解。

【参考文献】

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[2]高小山.求解几何约束问题的几何变法[J]中国科学，2001（4）：182-192.

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