动点动而不动,周长变而不变*—由一道中考题引发的思考

甘肃省酒泉市西洞学区(735000) 李芳红

一、问题的引出和解决

如图1,四边形ABCD为正方形,边长为4,BE=1,点F为线段AC上的动点(与A点C点不重合),当点F运动到什么位置时,△EFB的周长最小?

由于几何画板在处理动点的问题有很好的效果,我设计了关于动点F的动作按钮,将线段长度的属性中数值的精确度设置为0.1,得到动点F运动到如图2所示的位置,△EFB的周长=EF+FB+EB=6,发现△EFB的最小值为6.

图1

图2

通过分析,本题中BE=1是确定的,所以只需要计算(FE+FB)的最小值,这时进一步引发我们的思考,这样的问题似曾相识.如图3有A、B两个村庄,如何在河边修一个电站,它到A、B两个村庄的距离最短?我们是做了B点关于l的对称点,如图4那么点P即为所求.

图3

于是我们发现问题有了新的解法,我们可以把线段AB作为河流,在AB上找一点F,使得(FE+FB)的值最小,可以作点B关于AC的对称点,发现如图5点B的对称点就是点D,连接DE,那么点F即为所求,所以△EFB的周长=DF+FB+EB=DE+EB=5+1=6.

于是我们成功的解决了此问题,发现两种方法的结果是一样的.但是,作为一名教师应该有不断探究问题的能力,我们不仅是知识的传授者,更应该是知识的探索者.对于变化的量,我们是否可以用函数来解决此问题,于是我们以正方形ABCD的AB边和AD边分别为x轴和y轴,建立如图6的直角左边系,

图5

图6

我们利用导数成功的解决了此问题,发现最小值也为6.

为什么不是6那?我们产生了这样的疑问?到底什么地方出现了问题,是不是不能利用上面的绝对值不等式计算?丢失的0.05去哪里了?

同时,我们惊奇的发现f′(x)和G′(x)的图像惊人的相似如图7、图8,但是通过计算它们的图像并不完全相同,数值上的0.05和图像上的惊人相似,是否为巧合,还是有着必然的联系,那么这其中的奥秘到底是什么?

图7

图8

二、问题的进一步探究

在上面的题目中只有点F是运动的,如果点F和点E同时运动(点E在线段AB上运动),那么△EFB的周长的最小值是多少那?最小值还是6吗?我们惊奇的发现,△EFB的周长的最小值也为6.我们用几何画板建立两个动作按钮E和F,同时让点E和点F分别在线段AB和AC上运动,我们惊奇的发现,虽然两个点都在运动,但是△EFB得最小周长还是没有变,当点E和点F运动到如图9所示的位置,发现周长的最小值为6.虽然多加了一个动点,但是周长并没有发生变化.

我们进一步思考,时候可以利用函数的思想解决此问题,如图10建立直角坐标系.可以设F(x,x),E(y,0),B(4,0),4,0＜y＜4).问题转换为求F(x,y)这个二元函数的最小值,那么如何求F(x,y)的最小值?是否存在F(x,y)的最小值,如何有更高的技能解决?

图9

图10

三、启示和疑问

通过本文对一道中考题的研究,笔者提出了三个问题,敬请其他老师指正研讨.

1、在解决△EFB的周长的最小值时,我们是否能够利用绝对值不等式,如果能用,那么丢失的0.05到底去哪里了?如果不能用,那么为什么不能用?

2、f′(x)和G′(x)的图像惊人的相似,但是通过计算它们的图像并不完全相同,数值上的0.05和图像上的惊人相似,是否为巧合,还是有着必然的联系,那么这其中的奥秘到底是什么?

3、我们能否计算出F(x,y)这个二元函数的最小值,如何计算,还是根本就没有办法计算?能否用更高的观点去解决.

新课程已经开展了好多年,随着知识的不断更新,教师的角色也发生了很大的变化,教师不在是单纯的“传道、授业、解惑也”,而更应该是知识的发现者,知识的探索者,更应该是一名研究性的学者,这样才可以真正成为一名教育者,一名未来的教育家.