从近几年中考题看“字母系数”题考点

沈进华

摘要：含“字母系数”的方程与函数对学生在高中数学学习非常重要，也是近年各地中考必考察的题型。从荆州近三年“字母系数”问题题型看，主要有如下一些解答方法或考点。

关键词：中考；考点；系数

例：（2015年荆州）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0

（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根。

（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1）、Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1>y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围。

（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标。

解：（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，

②当k≠0时，

∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，

解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣1k ，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，

∴k=1.

∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，

（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

则，x2+2x=0x-y+2=0

解得x=0y=2或x=﹣2y=0.

所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）.

考查知识点：方程的定义，根的判别式，二次函数，整数根。

1、第一小题判断方程的实数根，这个小题由于二次项系数为参数，所以需要分成一元一次方程或者一元二次方程进行讨论。

2、第二小题是探讨方程的整数根，得出k的取值后，然后结合图像进一步作答。

3、第三小题函数过定点也是常考察的地方，此类问题实际上就是“参数的无关性”，所以我们需要借助“零乘法”的意义，得出对应的x的值，最后得出定点。当然这里也有其它的解法。

综合：本类题目的考察方法通常有如下一些地方：

1、考察方程的实数根的情况或考函数与坐标轴（x轴）交点情况。需要注意的是，如果二次项系数为参数，这个时候我们必须要进行分类讨论，不能忽略一次（二次项系数为零）的情况。如果是讨论函数与坐标轴的交点个数，还需要进一步的分类讨论。

2、方程的整数根或者函数与x轴交点横坐标为整数的问题一般都可以通过解方程，然后转化成“约数问题”求出参数的值。然后借助于图像进一步做答。

3、定点问题可以转化为“零乘法”得出对就的x的值，再求出对应的定点。

4、给定的是x1，x2方程两根或函数与x轴交点横坐标类似的式子，需要借助韦达定理或考根的定义进行化简，得出一个含有参数的方程求参数的值，特别注意，求完之后需要结合判别式进行取舍。

5、借助函数与x轴交点（y=m类直线的交点）之间的线段做底的面积问题，这类题目实际上是考察|x1-x2|的变形。

6、抛物线的平移与旋转。

7、抛物线与直线和不等式的结合。这类问题最有效的办法是借助助像解答。

第五类和第六类题目近几年荆州市中考未有涉及，但是其它地方的中考中有出现。

含有第五类考点的：荆州2017模拟卷七第24题：

1、已知关于x的方程.

（1）证明：无论m取任何实数，方程总有实数根；

（2）已知抛物线恒过定点P，请求出点P的坐标；

（3）若抛物线与X轴相交于不同的兩点A，B，当1/4

含有第六类考点的：

2、已二次函数y1=x2-2x-3及一次函数y2=x+m.

（l）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；

（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在坐标系里画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值：

（3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+（m-2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围.

（作者单位：湖北省松滋市八宝镇八宝初级中学434200）