探寻数字背后意蕴 发展整体结构思维——以“用数对确定位置”教学为例

江苏海安县南莫镇中心小学（226681）

结构化思维对帮助学生理解和掌握数学知识、完善学习认知结构，将课程目标细化、串联、落实在具体的教学情境中，以及提高学生的分析、认知和表达等能力，形成核心思考能力有着重大影响。“用数对确定位置”的教学目的是，让学生会用数对表示某个具体位置,探寻这“冰冷”规定背后的意蕴；让学生构建知识间的关联，体会数学思想方法的曼妙，培养合情推理的能力，学会透过简洁看结构。如果数字背后没有联系，知识就是零散的；如果数字背后没有思想，规定就是冰冷的；如果数字背后没有方法，学习只能是一种沉重的负担；如果简洁背后没有结构,简洁只不过是一种形式。下面就以苏教版教材四年级下册“用数对确定位置”的教学为例，谈谈如何根据数字探寻规则背后的意蕴，培养学生数学结构化思维。

一、数字背后有联系，打通联系成整体

数学知识体系是按照知识之间的内部联系组成的逻辑结构系统，教师在教学时应从整体结构入手,寻求内容间的内在联系,把握这种联系所构成的知识体系,并把这种体系迁移到学生的认知结构中，使知识系统化、条理化、结构化，从而促进学生结构化思维的发展。

例如，教学四年级下册“用数对确定位置”时，教师串通了小学各年级间有关确定位置之间的联系，引领学生回顾一、二年级学习过的“确定位置”，依托已有经验，提炼出数字背后的规则，明晰只要弄清前后左右和上下之间的先后顺序，制定统一的规则，就能准确确定位置，激发学生猜想今天学习的“确定位置”又有怎样的规则，提高学生探究规则的兴趣，让学生体会确定位置的学习方法的一致性和简洁性。

【教学片段1】

师：我们在一年级就学过确定位置，在图1中，你知道数字“2”是哪一位同学的位置吗？

图1

生1：不能确定，因为如果从前面数，穿粉色衣服的女孩排第2个；如果从后面数，穿橙色衣服的男孩排第2个。

生2：仅仅说是第几个，没有规定从哪边数，无法确定。

师：真了不起，你们从这个简单的数字背后读出了“在一条线上确定位置时，必须先规定数的方向”。

师：瞧，这是我们二年级学过的确定位置（如图2），和一年级的有什么不同?

图2

生3：一年级学的只有1排，现在不只1排了，必须要说第几排第几个才能确定位置。

生4：刚才是在一条线上确定位置，现在是在一个平面上确定位置，要用2个数字。

师：是的，在一个平面上确定物体的位置，得用两个数字来确定。第“2”和第“3”是按怎样的规则数的？

生5：“2”表示排，“3”表示个。

生6：“排”是从前往后，或是从下往上数的；“个”是从左往右数的。

师：是的，无论在一条线上，还是一个平面上，确定物体位置时都得先确定规则，否则大家表述位置的结果都不相同。这节课我们继续探寻确定位置中数字背后的规定。

这样的教学，将教学起点前移，让知识间的结构联系不仅植根在教师心中，同时也建构在学生的知识体系中，让学生建构新知有了基架。

【教学片段2】

师：通过今天的学习，你觉得确定一个物体的位置需要几个数？这其中的规定是什么？

生1：我觉得确定一个物体的位置可能需要1个数，也可能需要2个数。当只有1行或只有1列时，就是在一条线上，只需要1个数；如果在一个面上就需要2个数，可以用数对表示，前一个数表示列，后一个数表示行。

生2：如果只有1行时，也可以看成在一个平面上用数对表示出来，只是这个数对的后一个数总是1。

师：真了不起，你打通了线和平面之间的关系。如果只有1行或1列时，简单的确定位置的方法只要1个数。看来确定一个位置，有时需要1个数，有时需要2个数，那么有时可能需要……数对的世界很奇妙，欢迎大家去探秘。

这课前、课中和课后的灵活“打通”，让一节课往前走一步，向后拉一步，让学生体会到数学学习的整体性，起到既见树木又见林的功效。

二、数字背后有思想，领悟思想促发展

1.数点对应是本质

无论是一维空间还是二维空间,数与点之间的一一对应性(即一个数或数对对应着空间中的一个点，反之，空间中的每个点也只能用唯一的数或数对表示）是用数对确定位置的本质。例如,数对与座位也是一一对应关系，在用数对表示自己的座位时，如果某个人的位置是固定的,则描述这个人位置的方法应该是一样的。这个“一一对应性”让学生体会到“数学规定”虽然是人为规定,但有它的必要性和合理性,大家都必须认可并遵守这个合理的数学规定,否则一切就混乱了。

【教学片段3】

师:刚才大家用数对表示了自己的座位，也让小伙伴们根据数对猜到了自己的朋友。想一想，我们班级中会有两个人的座位是用同样的数对表示的吗?

生1:不会。如果是同样的数对，那这样一个座位上得坐两个人了。

生2：每个数对只能对应着一个人，每个人也只能有一个座位，这样才很有秩序，不会乱。

在教学由一个象限向其余三个方向延展时，教师引导学生通过想象“在二维方向标（也就是直角坐标系）中，每个点都可以用数对表示吗？”归纳数对的“数学规定”，激发学生继续探究知识的欲望。

【教学片段4】

师：按这个思路继续思考，这是学校的东北角（图略），还有东南角，如果往下画，还有西南角，能不能用数对表示这些点的位置？往左呢?你想说什么？

生1:这个好像我们二年级学过的方向标，分为东、南、西、北四个区域，那每个区域中的点的位置应该都可以用数对表示。

师：看来，对于方格图，我们想画多大就能画多大。请大家闭眼想象一下，这个方格图上任何一点的位置是不是都可以用数对来表示？反过来，任何一个数对是不是都可以在这个方格图上找到一个点和它对应？这很像将来咱们要学习到的直角坐标系。

学生根据已有的经验，猜想这个平面中的每个点应该都可以用一个数对表示，虽不明白具体用什么数对表示，但一一对应的思想已经初步形成。

2.数形结合巧渗透

数学是研究数量关系和空间形式的一门学科，而数形结合是一种重要的数学思想方法，其实“数对”就是中学所说的坐标，而“列”和“行”就是直角坐标系的雏形，它们架起了数与形的桥梁，为学生今后学习函数知识进行了有机的铺垫。教学中，教师将人物图抽象为点子图,再将点子图抽象为方格图,渗透“数形结合”思想,孕伏“坐标”知识，引导学生经历知识的形成过程,发展学生的空间观念。

【教学片段5】

师：如果我们把每个同学都看成一个点，闭上眼睛想象一下，这幅图（图略）变成什么样了？

师（出示图3）：睁开眼睛看看，这样的一个平面图和你想的一样吗？你还能在点子图中找到数对（4,2）所表示的点吗？

图3

图4

师（出示图4）:数对（2,4）和（4,2）都用的是数字2和4，它们所表示的点相同吗？为什么？

……

师：斜着看，数对（2,2）和（4,4）,有什么特点？在这幅图中你还能找到这样的数对吗？把这些点连起来会得到什么图形，你有什么新发现?

……

师（出示图5）:横着看这些数对，你发现了什么，竖着看呢？

……

师：没想到这简单的数对背后居然还有这么多门道。

图5

三、数字背后有推理，合情推理提能力

数学，无论是它自身的产生与发展,还是对于它的认知与应用,推理无不伴随始终。因此，培养学生的数学推理能力是当今数学教育的一种核心价值取向。数学课程标准特别指出:应将推理能力的发展贯穿于学生整个数学学习过程中。而在数学学习过程中,猜想和推理是一对孪生兄弟,随时都会同时出现在一个问题中。“用数对确定位置”这节课中，数对确定位置的方法是一种规则，如果采用“告诉”的方式教学，就会使学生的学习处于“接受”状态。如果让学生经历用“符号”来表示第几行和第几列，并讨论不同方法的优劣这一再创造的过程，对于熟悉了“先行后列”数法的学生来说是有一定困难的。因此，教师要引导学生从猜想规律开始，逐步根据提示进行推理，提高学生自主学习和研究的热情，促进学生推理能力的提升。

【教学片段6】

师：为了更好地学习这节课，老师请来了很多孩子,这里有老师的女儿(如图6)，猜猜看，是哪一个?

图6

生1:从遗传学的角度看，我觉得是第4排第2个，因为很漂亮。

生2：听说成绩很棒，我觉得是从上往下数的第1行的第5个。

生3：只要是女孩都有可能，这样的猜测好像“大海捞针”，得有点提示。

师：行。在数学上，她在这幅图中的位置表示为（4，2），把数字4和2用逗号隔开，外面加括号表示一个整体，可以读作数对4、2，也可以直接读成4、2。现在，你能找到她的位置吗?

生4：还是不能确定究竟是哪一个，但范围比刚才缩小了。

生5：我们已经锁定了4个目标了（如图7）。

图7

师：老师只有一个孩子，而且她的位置在数学上的确可以用数对(4,2)来表示，为什么你们找出了四个孩子呢?在小组里交流你的想法。

小组1:这里的4和2，哪一个是指竖排，哪一个是指横排，没说清楚。竖排时，究竟是从左往右数，还是从右往左数，也没说清。横排时，究竟是从上往下数，还是从下往上数，也没说。

小组2：这数字背后的规则不清楚。

师：看来，仅仅知道数对还不够，我们还得了解这个数对背后隐藏的一系列规则。

师：老师的孩子的好朋友，在图中可用数对(2,1)表示。现在你能确定哪一个才是老师的孩子吗?同桌两人交流自己思考的过程。

（学生在交流中明晰列和行的确定以及数对(4,2)背后的规则）

学生在经历了两次猜想后，逐步缩小答案的范围，教师再根据给定孩子的位置和数对，引导学生通过推理，自主探究，得出数字背后的规则。在这样的过程中，学生的推理能力得到了进一步的培养，而这种“以假设为导向——如果她朋友的位置是（2,1），以事实为依据，以逻辑为纽带”，学生根据给定数进行迁移、思考、推理的思考问题的方式，正是结构化思考问题的重要方式。

四、数字背后有简洁，透过简洁见结构

教学“用数对确定位置”后，很多教师都引导学生体会用数对表示位置的简洁性，感受数学的简洁美。但这里有比“简洁”更重要的是这种表示方法的统一性和结构性:所有人都这样表示，有了这种表示的统一性,就不会产生分歧,便于沟通和交流。如果这里的简洁只是书写上的简单，而从学生思维的角度思考,特别是对初学者来说，这其实并不简洁，反而是更复杂，因为学生已有的思维习惯是先行后列，而数对表示的数的第一个是列而不是行。

因此,笔者在引导学生总结用数对确定位置优越性时，让学生不仅能体会到简洁性，更懂得这种表示的统一性和结构性价值要远远大于简洁性,因为这种表示(小学阶段用在一维、二维、三维空间)还可以进一步迁移到球面空间……

综上，探寻隐藏在数字背后规定的数学意蕴和价值，不能局限于表面规定的接受，而要让学生知道数字背后有联系，明白数字背后有思想（重视思想促发展），经历数字背后有推理（合情推理提能力），理解数字背后有简洁（透过简洁见结构），真正让学生触摸数学的本质，从而展现数学知识的魅力，让学生在有意义的学习中发展结构化思维，并让其成为一种思考的自觉。然而，结构化思维的培养不是一蹴而就的，和吹拉弹唱相似，也是需要每天练习的，既然如此，教师就应该根据教学内容，科学地引导学生每天练习，做学生结构化思维的引路人，让他们在每天的练习中习得方法，学会有条理地分析和利用结构化思维解决问题。