基于量子遗传算法的概率积分参数反演

魏 涛 王 磊 李 楠 池深深 蒋 创

（安徽理工大学测绘学院，安徽淮南232001）

概率积分法模型属于典型的多参数非线性模型，精确反演概率积分参数对于提高开采沉陷预计精度具有重要作用［1］。目前，常用的概率积分参数求取方法主要有特征点求参法、正交试验法、最小二乘拟合法、模矢法和GA算法等［1］。其中，特征点求参法不稳定，误差较大；正交试验法运算速度慢，难以编程实现；最小二乘拟合法在运算中易出现法矩阵病态［2］；模矢法求参受初始值的影响较大，易陷入局部最优解［3］；GA算法具备全局搜索能力，可避免陷入局部最优解，模型对求参初值依赖性低［4-7］，但存在搜寻速度较慢、易早熟等不足。QGA算法在GA算法的基础上，利用量子比特编码的多样性和量子门的快速收敛性可有效克服GA算法的不足［8-12］。因此，本研究将QGA算法引入概率积分参数求取中，构建基于QGA的概率积分参数反演模型，并进行试验分析。

1 基于QGA的概率积分参数反演模型

1.1 理论基础

QGA算法是在GA算法的基础上引入量子算法的智能优化算法［6，13］。由于QGA算法搜索的高效性和高精度，可以较好地克服GA算法种群易早熟、低效率的搜索能力等缺点［7］。QGA算法的主要特点是：①编码过程中采用量子编码，将染色体用量子的态矢量表示，从而增加了种群的多样性，使得算法能够在较小的种群规模下求得最优解；②遗传过程摒弃了传统的选择、交叉和变异操作，引用量子门，提高了搜索效率，算法适应性更强。

1.1.1 量子编码

QGA算法采用的是基于量子比特的编码方式，每个量子比特是由1对复数量子概率幅α、β表示。本研究构建的基于QGA的概率积分参数反演模型需对下沉系数q、主要影响角正切tanβ、水平移动系数b、影响传播角θ、上拐点偏移距Su、下拐点偏移距Sd、左拐点偏移距Sl和右拐点偏移距Sr共8个参数［8］进行计算，为保证反演精度，模型中各参数二进制编码采用7位形式表示［9］。该编码方式可以使种群多样性更加丰富，并且通过量子门更新后，种群的染色体收敛到某个单一态，为快速准确搜寻最优解奠定了基础。

1.1.2 解码和种群个体的适应度评价

QGA算法的解码方式与传统GA算法的解码方式一致。假设q的初始值为B0，其参数约束值为Bi，即该量子基因值B的取值为B0±Bi，且其二进制编码为bm，bm-1，bm-2，…，b3，b2，b1，模型中二进制编码个数m=7，b表示二进制编码“0”或“1”。解码公式为

式中，N 为监测点数；Wp（n）、Up（n）分别为第 n（n∈［1，N］）个监测点的预测下沉值和水平移动值；Wa（n）、Ua（n）分别为第n个监测点的实测下沉值和水平移动值。f值越大，表明个体适应度越大；反之，适应度越小。

1.1.3 量子门更新种群

QGA算法中利用量子门矩阵取代了GA算法中的选择、交叉和变异操作进行种群更新，从而实现了对种群的定向更新［10］。目前常用的量子门变换矩阵主要有异或门、受控异或门、旋转门和Hadamard变换门等。

将二进制代码表示的种群转换为十进制，利用十进制的数值对种群中各个个体的适应度进行计算，模型中个体适应度f的计算公式为本研究模型采用量子旋转门矩阵对种群进行更新。

1.2 基于QGA的概率积分参数反演模型

基于QGA的概率积分参数反演步骤如下：

（1）量子编码和生成初始种群。根据工作面的实际地质采矿条件，结合已有的概率积分参数经验公式［1］，确定8个参数的初始值和约束值，利用量子编码方法进行二进制编码，生成初始种群。

（2）解码和评价种群个体适应度。采用式（1）对二进制编码种群进行解码，计算种群中所有个体的适应度值，并记录当前种群的最优个体适应度值。

（3）判断是否满足终止条件。模型中以拟合中误差和迭代次数作为判断条件，满足精度要求或达到最大遗传代数时，则解码输出当前种群的最优个体，即为最优反演参数。否则，执行步骤（4）。

（4）量子旋转门更新种群。以步骤（2）中的最优个体为进化目标，将亲代所有个体的二进制编码与当前种群最优个体的二进制编码进行比较，并利用量子旋转门矩阵生成子代种群的量子比特编码，最后根据量子比特编码生成子代种群的二进制编码。

（5）重复执行步骤（2）～（4），进行迭代计算。当达到步骤（3）中的终止条件要求时跳出循环，输出最优概率积分反演参数。模型中设置的初始种群数为100，最大遗传代数为100代。

基于QGA的概率积分参数反演流程如图1所示。

2 模拟试验

2.1 模拟工作面概况

某工作面煤层采厚3.0 m，煤层倾角（α）为5°，倾向长 D1=400 m，走向长 D3=600 m，平均采深H=300 m，采用全部垮落法管理顶板；地表沉陷预计参数 q=0.55，tanβ=1.4，b=0.25，拐点偏移距S=0.2H，θ=90°-0.5α。在工作面上方移动盆地内沿走向、倾向主断面布设了2条地表移动与变形监测线，点间距30 m，走向观测线（E线）长1 320 m，共45个监测点；倾向线（N线）长1 020 m，共35个监测点。模拟工作面的地表移动观测站设置如图2所示。根据该工作面的地质采矿条件，对概率积分参数进行了设计。

2.2 QGA参数反演模型的准确性

对表1进行计算可知：QGA算法得到的q、tanβ、b和θ的相对误差绝对值均小于2%，拐点偏移距（Su）的最大相对误差仅为-7.81%，总体而言，QGA算法得出的概率积分参数与设计值相差较小，准确性优于GA算法。

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2.3 QGA参数反演模型的抗随机误差干扰能力

分别将E线和N线上的所有监测点的下沉值先后增加10，20，30 mm随机误差，水平移动值先后增加3.3，6.6，9.9 mm随机误差，并利用基于QGA的参数反演模型对含有随机误差的下沉值和水平移动值进行了参数反演，结果见表2。

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对表2进行计算可知：随着随机误差的增大，QGA模型参数反演值与设计值的相对误差也有所增大，但总体上，各参数的相对误差均不超过20%，表明QGA参数反演模型具有一定的抗随机误差干扰的能力。

2.4 QGA参数反演模型的抗粗差干扰能力

本研究将粗差分别赋值于E线和N线上拐点和最大下沉点，即分别在拐点和最大下沉点处增加200 mm粗差。将受到粗差影响点位的概率积分参数作为初始值，利用QGA参数反演模型得出的概率积分参数见表3。

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由表3计算可知：拐点和最大下沉点处出现粗差后，各参数与设计值的相对误差均有一定程度增加，除了Sd的最大相对误差达到-16.15%以外，其余参数的相对误差绝对值均较小，表明该模型可有效抵抗粗差的干扰。

2.5 QGA参数反演模型的抗缺失点干扰能力

为进一步分析QGA参数反演模型对缺失点的抗干扰能力，以拐点和最大下沉点为界限，将下沉曲线分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3个部分［4］（即边缘到拐点为第Ⅰ部分，拐点到最大下沉点为第Ⅱ部分，最大下沉点以后为第Ⅲ部分）［4］，分别对3个部分随机缺失20%、40%、60%的监测点数据，分别根据缺失后的模拟数据进行QGA参数反演，部分结果见表4。

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对表4进行计算可知：各区域随着缺失点的增加，各参数反演值与设计值的相对误差有增大趋势，但相对误差总体上不超过10%以，可见QGA参数反演模型对地表监测点的缺失有一定的抗干扰能力。

3 工程应用

淮南顾桥北矿1312（1）工作面采用综合机械化掘进，后退式开采，综合机械化采煤，一次采全高，全部垮落法管理顶板。该工作面尺寸为620 m×205 m（长×宽），走向线上为超充分开采，总体为非充分开采，采深520 m，采厚3.3 m，煤层倾角5°。主体倾向观测线布置于距离切眼约310 m、距离停采线约305 m的方向上，走向观测线主体设置于下山方向偏离工作面中心线37 m的方向上，走线观测线长1 570 m，共设置有49个观测点，倾向线长750 m，共有28个观测点，采动过程中跟据四等几何水准观测点位高程。

本研究以顾桥北矿1312（1）工作面的实测数据为基础，由于实测数据中缺乏水平移动数据，故仅以走向线上的下沉值作为初始数据，不考虑水平移动系数b，根据工作面的实际地质采矿条件确定了其他概率积分参数的初始值。经过数据预处理选取了走向观测线上的39个观测站的数据作为实测数据。为避免偶然误差的干扰，本研究分别采用QGA算法和GA算法对其余7个概率积分参数进行了10次反演，各参数的最终反演值取10次反演值的平均值，结果见表5、图3。分析表5、图3可知：QGA参数模型反演得到的概率积分参数的可靠性优于GA模型。

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4 结语

为精确求取概率积分法预计参数，构建了基于QGA的概率积分参数反演模型。仿真试验以及顾桥北矿1312（1）工作面实例分析表明，该模型在准确性、稳定性方面优于GA求参模型，有助于提升概率积分参数的反演精度。