圆轴、横梁构件内部响应的计算分析

摘 要：对比横梁、圆轴构件内部响应即横梁纯弯曲时截面上的正应力σ与圆轴扭转时截面上的切应力τ值的计算，通过实验现象定性分析，后关联其几何关系，物理关系，静力学关系三个方面的定量表达，借助高数中的微元、积分等分析工具，得出了形式相近，思路相通的表达式，而分析的方法对其他构件的力学学习有一定的借鉴意义。

关键词：正应力；切应力；内部响应；变形

工程构件的几何形状是多种多样的，大致可归纳为杆件、板、薄壳和块体四类。建筑力学中则是以杆状构件为主要研究对象，其变形的基本形式有以下四种，轴向拉伸与压缩、剪切、扭转和弯曲。为了便于理论分析和简化计算，需要对变形体作出以下假设：均匀连续性假设、各项同性假设、小变形假设和完全弹性假设。在此假设基础之上，深入到构件内部，考虑在外力和约束外力作用下，引起的构件内部的响应，即内力、应力变形及应变等。如何根据杆件横截面上内力的合力来获取杆件任意截面上任意点的内力分布集度，是亟需解决的问题，以圆周扭转和横梁纯弯曲时两种变形形态的应力推导过程为例，得出一些典型的分析和计算方法。

1 圆轴扭转时横截面上的切应力τ

圆轴扭转时横截面上的切应力，需要根据变形现象找出变形几何关系；利用物理关系找出应力分布规律；利用静力学关系，导出应力计算公式。

1.1变形几何关系

在圆轴扭转平面假设前提下，选相距dx的两个横截面及夹角无限小的两个径向纵截面，从轴内切取一楔形体O1ABCDO2分析，如图（a）。楔形体的变形如图中虚线所表示，轴表面的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，距轴线ρ处的任一矩形abcd变为平行四边形abcd，即均在垂直于半径的平面内产生了剪切变形。设上述楔形体左、右两端横截面间的相对转角即扭转角为dφ，矩形abcd的切应变为γρ，由图（a）可知

由此得 （1）

1.2物理关系

如图（b）所示，由剪切胡克定律可知，在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比。所以，横截面上ρ处的切应力为

（2）

而其方向则垂直于该点处的半径。公式（2）表明，扭转切应力沿截面径向线性变化。

1.3静力学关系

如图（c）所示，在距圆心ρ处的微面积dA上，作用有微剪力，它对圆心O的力矩为。在整个截面上，所有微力矩之和应等于该截面的扭矩，即

将公式（2）代入上式，

得

Let：只与横截面的尺寸有关，称为横截面对O点的极惯性矩，其量纲为[长度]4。得

（3）

即为圆轴扭转变形的基本公式。最后，将式（3）代入式（2）中得

（4）

即为圆轴扭转切应力的一般公式。

2 横梁纯弯曲时横截面上的正应力σ

梁强度的主要控制因素是与弯矩有关的弯曲正应力，因为弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩。与圆轴扭转求解思路相近，要取得梁弯曲正应力的计算公式，必须综合考虑几何、物理和静力学关系三个方面的内容。

2.1几何关系

首先观察梁的变形情况，取一根具有纵向对称面的等截面直梁，加载前，在其表面画上与轴线平行的纵向线ab和cd，以及垂直于纵向线的横向线和，然后在梁的纵向对称面内施加一对大小相等、方向相反的力偶，使梁处于纯弯曲的情况。根据梁表面的变形现象，考虑到材料的连续性、均匀性，以及从梁的表面到其内部并无使其变形突变的作用因素，可以由表及里对梁的变形做如下假设：平面假设、单向受力假设、中性层假设。以上是对于变形的定性分析。

同时，为了取得弯曲正应力的计算公式，还需对弯曲正应力有关的纵向线应变做定量分析。为此，沿横截面的法线方向取x轴，用相距dx的左、右两个横截面mm'和nn'，从梁中取出一微段，并在微段梁的横截面上取荷载作用面与横截面的交线为y轴（横截面的对称轴），取中性轴为z轴，由于中性轴垂直于荷载作用面，故z轴垂直于y轴，如图（f）。根据平面假设，微段梁变形后，其左右横截面mm与nn仍保持平面，只是相对转动了一个角度dθ。设微段梁变形后中性层O1O2的曲率半径为ρ，由单向受力假设可知，平等于中性层的同一层上各纵向纤维伸长或缩短量相同。故距中性层O1O2为y的各点处的纵向线应变均相等，并且可以用纵向线ab的纵向线应变来度量，即

（5）

对任一指定横截面，ρ为常量，因此，式（5）表明，横截面上任一点处的纵向线应变与该点到中心轴的距离y成正比，中性轴上各点处的线应变为零。

2.2物理关系

根据单向受力假设，梁上各点皆处于单向应力状态。在应力不超过材料的比例极限即材料为线弹体，以及材料在拉（压）时弹性模量相同的条件下，由胡克定律得：

（6）

对任一指定的横截面，E/ρ为定量。因此公式（6）表明，横截面上任一点处的弯曲正应力与该点到中性轴的距离y成正比，即弯曲正应力沿截面高度按线性分布，中性轴上各点处的弯曲正应力为零。其分布规律如图（e）所示。图中，分别表示最大的压应力和最大的拉应力。

2.3静力学关系

如图（f）所示，横截面上某点处的法向微内力dA组成一空间平行力系，而且由于弯曲时，横截面上没有轴力，仅有位于XY面内的弯矩M，故按静力学关系，有

（7）

（8）

（9）

将式（6）代入式（7）式得

，式中，为截面A对中心轴Z的静矩。由于，故必有：，表明中心轴Z为横截面的形心轴。

将式（6）代入式（8）得

，式中，为截面A对y、z轴的惯性积。由于，故必有，表明y、z为横截面上一对相互垂直的主轴。由于y轴为横截面的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过截面形心，所以y、z轴为形心主轴。

将式（6）代入式（9）得

，式中，为横截面对中性轴z的惯性矩，由此得

（10）

式中为梁变形后中性层的曲率，反映了梁的弯曲程度；称为梁的刚度，愈大，曲率愈小，梁愈不易弯曲，因此反映了梁抵抗弯曲变形的能力。将式（10）代入式（6）得

（11）

这就是直梁纯弯曲时横截面上的正应力计算公式。M为横截面上的弯矩。

3 圆轴与横梁内部响应计算中的思路分析

圆轴扭转横截面上的切应力（τ）计算时，定性分析得出圆

轴扭转平面假设，在定量计算中其几何关系为，物理关系为剪切胡克定律与切应力互等定理，静力学方面通过微剪力积分来求解。横梁纯弯曲横截面上的正应力（σ）计算时，定性分析得平面假设、单向受力假设、中性层假设，定量计算时的几

何关系，物理关系为胡克定律，静力学方面通过法向微内力积分求解杆件横截面上内力的合力和杆件任意截面上任意点的内力分布集度之间的解析表达式。

4 结语

通过对圆轴扭转、横梁弯曲内部响应的计算分析，发现其处理的方法、分析的思路和计算的步骤都具有很好的典型性、系统性和可类比性。在其求解过程中的定性分析、定量计算中，体现很多共性、相通的学习思想，而这样的思想有助于对于其它相关力学知识的学习，做到触类旁通，举一反三。

参考文献

[1] 苏振超，张丽娜.建筑力学[M].西安：西安交通大学出版社，2012.

[2] 谢刚，沈冰.工程力学[M].沈陽：东北大学出版社，2008.

[3] 西南交通大学应用力学与工程系.工程力学教程[M].北京：高等教育出版社，2009.

作者简介：

许多文，男，1982年4月生，甘肃民勤人，2010年江西理工大学测绘工程专业硕士研究生毕业，武威职业学院讲师。