变位鼓形齿轮中变位系数的分析与研究

张博　马天福　孟楚凡

摘 要：文本主要对渐开线变位鼓形齿轮中的变位系数进行分析与研究，阐述变位鼓形齿轮在加工过程中变位系数的一系列变化，从而推出含变位系数的渐开线坐标方程和变位系数在鼓形齿轮中的函数关系，为机械传动设计者提供参考。

关键词：鼓形齿轮；变位系数；函数关系

中图分类号：TH132.413 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2018）04-0062-03

Analysis and Research of Modification Coefficient in Drum Modified Gear

ZHANG Bo MA TianFu MENG Chufan

（Xian Huanghe Electro Mechanic Co， Ltd.，Xian Shaanxi 710043）

Abstract： In this paper， the modification coefficient of the involute drum modified gear was analyzed and studied， and a series of variation of the modification coefficient in the process of drum modified gear were described， and the change of the displacement coefficient was introduced. Thus launch of modification coefficient of involute coordinate equation and displacement coefficient function relation in the drum gear， provide a reference for mechanical designers.

Keywords： drum gear；modification coefficient；function relation

鼓形齿轮常用于齿轮连轴器，这类连轴器偏斜角一般为5°，而普通齿轮连轴器偏角仅为30?[1]。鼓齿轮对应于普通圆柱齿轮，鼓形外齿齿顶不再是圆柱面，而是球面或圆弧面[2]（如图1所示）。该齿轮在滚齿加工过程中，刀具沿着齿轮轴向按照圆弧轨迹加工齿轮，而这种加工方法会对齿轮中的变位系数产生一定的影响。基于此，本文主要探讨上述方法是如何影响变位系数的，其对齿轮其他参数有何影响。

1 渐开线齿轮的变位系数分析

根据机械原理，当用标准齿条刀具加工齿轮时，若刀具分度线与轮坯的分度线相切时，加工出来的齿轮为标准齿轮[3]。以分度圆为基准，若刀具分度线远离或靠近齿轮轮坯中心距离为xm时，所切制的齿轮称为变位齿轮，其中m为齿轮模数，而x称变位系数，远离x为正值，靠近x为负值。

如图2所示，用标准齿条刀加工齿轮时，齿条插刀与轮坯的范成运动相当于齿轮与齿条的啮合运动[3]，直线

NP为渐开线齿轮传动的啮合线，P点是标准齿轮的啮合点，当齿条沿径向线OP远离xm位移时，而啮合线的位置总是不变[3]，所以啮合点由原来的P点沿啮合线移到K点，根据上述几何图可得：

[PK=xmsinα] （1）

其中，[α]为压力角。从式（1）中可以看出，啮合点K的位置随x的值变化而变化，当x=0时，K点和P点重合。

在加工过程中，齿廓上的渐开线部分都是在齿轮啮合点上被切制而成，根据这一点，可以将齿轮啮合线看作是渐开线的发生线，回到渐开线的形成过程来研究渐开线方程。如图2和图3所示，P点和K点分别是标准齿轮和变位齿轮的啮合点，同時也是渐开线形成的轨迹点。

由机械原理可得P点渐开线的坐标方程[3]：

[x=rbsinu-rbucosuy=rbcosu+rbusinu] （2）

其中，u为弧度制，[rbu=NP]，由于[NK=NP+PK]，再根据式（1）可得：

[NK=rbu+XMsina] （3）

根据式（2）和式（3）可写出K点的渐开线方程：

[x=rbsinu-rbu+XMcosuy=rbcosu+rbu+XMsinu] （4）

再将u弧度制转换为角度制时，K点渐开线的坐标方程为：

[x=rbsinu-rbuπ/180+XMsinαcosuy=rbcosu+rbuπ/180+XMsinαsinu] （5）

由于K点是变位齿轮的啮合点，那么式（5）就是含变位系数的渐开线坐标方程。

将所建立的含变位系数的渐开线坐标方程输入ProE软件中进行三维建模对比，其中，模数m为2，齿数Z为8，变位系数从0变到0.3，所生成模型如图4所示。

分析模型可知，在变位系数增大的过程中，含变位系数的渐开线齿轮齿廓沿其法线逐渐向外偏移，单边偏移量为[XMsinα]，而齿顶圆和齿根圆也随变位系数的增大而扩大，其扩大量为2xm。变位系数越大，齿轮的齿顶厚Se越小，为了保证齿轮的齿顶强度，一般要求[Se≥0.25-0.4m]。

2 鼓形齿加工过程中变位系数分析

鼓齿轮径向截面的半径长度是按照圆弧均匀变化的，加工鼓形齿时，刀具的运动轨迹是沿齿轮中心作圆弧曲线（如图5所示）。当刀具远离齿轮中心时，所切制的齿轮为变位齿轮，变位量xm随圆弧曲线逐渐变化的过程中，变位系数先逐渐变大再逐渐变小。变位系数的大小与圆弧半径R和齿宽B有一定关系，接下来我们分析和研究这些关系。

如图6所示，R为鼓齿轮齿顶圆弧半径，B为齿轮齿宽，β为圆弧圆心角，以圆弧两端点中心为坐标，可得圆弧的曲线方程为：

[z=Rsinβ2t-1/2 0≤t≤1y=Rcosβ2t-1/2-Rcosβ/20≤t≤1 ] （6）

从图6可得：[sinβ/2=B/2R] （7）

参数t从0变到1，角变量[β2t-1/2]从[-β/2]变到[β/2]，从（6）方程组可以看出：切制鼓形齿轮的刀具可绕圆弧中心运动加工鼓形齿。

变位齿轮的变位量xm是刀具远离中心轴的位移量，在鼓齿轮中这种位移量随圆弧y轴的变化而变化，其位移量的变化量为dxm，那么根据式（6）可得出：

[y=dxm=Rcosβ2t-1/2-Rcosβ/2] （8）

当变位齿轮不发生根切时，变位系数[x0≤Zmin-Z/Zmin]，那么在鼓齿轮中的变位系数是：

[X=X0+dx] （9）

其中，[X0]是常量，[dx]是变量，将公式（8）代入变位系数公式中可得：

[X=X0+Rcosβ2t-1/2-Rcosβ/2/m] （10）

从式（10）可以看出鼓齿轮中的变位系数随角变量[β2t-1]的变化而变化，角变量为某一定值时此处的变位系数为一定值。

在实际应用中，很难通过测量角变量来确定此处变位系数值，而通过测量齿轮轴向位移量比较容易得到测量值，为此将式（6）的角变量转化为沿z轴的位移变量。

由式（6）的z轴已知：

-B/2[≤Rsin][β2t-1/2≤B/2] （11）

式（11）同除于B/2得：

[-1≤2Rsinβ2t-1/2/B≤1] （12）

令[V=2Rsinβ2t-1/2]，[-1≤V≤1]可得：

[sinβ2t-1/2=BV/2R] （13）

那么：

[cosβ2t-1/2=4R2-B2V2/2R] （14）

将[V=2Rsinβ2t-1/2]，[-1≤V≤1]代入（6）式得沿z轴的位移变量的圆弧坐标方程：

[z=BV/2 -1≤V≤1y=4R2-B2V2-4R2-B2/2 -1≤V≤1] （15）

从式（15）可以看出：[zV]为直线函数，[yV]为椭圆函数，从而可知：切制鼓形齿轮的刀具可以为沿z轴直线运动和沿y轴椭圆运动的组合。

将（15）的[yV]函數代入式（9）可得沿齿轮轴向位移变化的变位系数函数式：

[x=x0+4R2-B2V2-4R2-B2/2m -1≤V≤1] （16）

根据式（16）可得到鼓形齿轮齿顶圆和齿根圆的公式：

齿顶圆：

[da=d+2ha*+xVm] （17）

齿根圆：

[df=d-2ha*+Xc-XVm] （18）

3 结语

在设计小齿数变位鼓形齿轮时，既要考虑变位系数的取值，还要考虑变位系数随鼓形量的变化，变位系数变化过大，齿轮齿形变化越大，就会降低齿轮强度和重合度，会影响齿轮的稳定性；当变位系数变化过小，齿轮齿形鼓向量随之减小，从而影响连轴器偏斜角，降低连轴器的使用性能。所以，在设计时，应在合理范围内选取变位系数的值。

参考文献：

[1]刘宗军，邓枣花.鼓形齿轮的设计计算与加工[J].机床与液压，2002（4）：221-223.

[2]彭华福.鼓形齿轮连轴器齿面设计及加工的若干问题[J].机械设计，1985（4）：45-52.

[3]孙恒，陈作模.机械原理[M].5版.北京：高等教育出版社，1996.