基于效应的随机灰规划模型和应用

周磊 董丽丽 李法朝

摘要：为了解决同时含有随机因素和灰色因素的不确定规划问题，通过结合区间灰数所属区间两个端点的随机性，给出随机区间灰数和随机区间灰函数的定义，提出了随机灰规划模型。通过综合效应函数理论用随机变量期望值和方差综合量化表示灰数所属区间的两个端点值。应用该理论对综合量化后的两个端点值继续进行综合量化，从而将随机灰规划转化为确定型规划问题。应用遗传算法进行求解。通过综合效应函数的理念，综合随机变量的期望和方差，同时综合区间灰数的区间因素，将随机灰规划数学模型转化为确定型规划模型即基于效应的随机灰规划模型。通过选取不同的综合效应函数，得到了关于不同决策意识下的随机灰规划的最优解。这个方法可为决策者进行不确定决策提供参考。

关键词：随机规划；区间灰数；随机区间灰数；随机灰规划模型；综合效应函数

中图分类号：O221文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx04006

1问题的提出

利润是厂家直观了解盈利的数据，也是厂家制定生产计划的依据。但是长期利润并不是一个固定值，每天每月每年产生的利润都不一样。那么，该如何确定利润呢？首先，利润的取值一定在某一个区间内，确定区间的2个端点是关键之一。其次，区间2个端点的值确定后，选取区间中具有代表性的数值也很重要。这就需要把灰色问题与随机规划问题结合起来处理灰色问题中的随机性。

灰色系统理论是为了解决生活中含有不确定因素的问题而出现的一种理论方法[1-2]。灰色决策作为灰色系统理论的一个分支，用来解决一类有关灰色因素的不确定规划问题，这类问题已经成为国内外相关学者研究的热点。文献[3-4]应用灰色关联分析来制定在只有有限数据下企业核心产品的策略，并通过建立GM（1，1）模型来评估企业的核心竞争力和投资策略，但这只是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度来衡量因素的关系。文献[5]通过定义三参数区间灰色数提出了基于三参数区间灰色数的决策方法，取得了较好的决策效果。文献[6]提出了对于直觉模糊多属性决策的灰色关联度分析方法，并给出了具体算法。文献[7-8]将灰色决策理论应用于水资源管理，但文献[3-8]都只涉及到灰数问题，比如灰色关联度问题、三参数灰数问题，但并不能解决含有随机规划的灰数问题，因此解决具有随机因素的灰数问题需要结合随机规划方法。

第4期周磊，等：基于效应的随机灰规划模型和应用河北工业科技第35卷随机规划是处理带有随机性数据的一类数学规划，在管理科学、交通运输、自动控制等领域具有广泛的应用价值。目前，公认的随机规划方法有3种：1）期望值模型，即在期望约束条件下，使得期望收益（损失）达到最大（最小）；2）机会约束规划模型，即在目标和约束的满足概率不低于某种阈值的前提下，确定最优决策方案[9]。3）相关机会规划模型，即把随机规划的可行域理解为随机环境，通过相关任务的实现概率最大来确定决策方案[10-12]。上述3种模型是当今解决随机规划问题的基本依据。目前，较为常用的解决方案是通过随机模拟与某种智能算法的集成来构造相关的求解方法。例如：文献[13]通过遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法与随机模拟相结合，设计了随机规划的求解算法；文献[9-13]解释了随机规划模型以及相关算法，但都没涉及到含有灰数因素的随机规划问题，故此需要随机规划与灰数问题结合提出新的模型，才能解决含有灰数的随机规划问题。

本文根据所提出的问题分4部分求解：1）通过结合区间灰数所属区间2个端点的随机性，给出随机区间灰数和随机区间灰函数的定义。同时，结合随机规划的特点，提出了随机灰规划模型。2）通过综合效应函数理论，将随机变量期望值和方差综合量化来集中表示灰数所属区间2个端点值。3）将综合量化后的2个端点值继续应用该理论进行综合量化，从而将随机灰规划转化为确定型规划问题。4）应用遗传算法进行求解。

2方法的提出

2.1区间灰数[14]

1）区间灰数的概念

只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。把取值于[a，b]（a定义1令f（x）：R→R，设Θ为所有随机区间灰数构成的空间，f（）：Θ→Θ，称为区间灰函数。记fmax（[a，b]）为当∈[a，b]时，f（）的最大值，fmin（[a，b]）为当∈[a，b]时，f（）的最小值。

2）区间灰数的运算

法则1设1∈[a，b]（a

s.t.gj（X，ξ）≤0，j=1，2，…，m。（3）4）相关机会规划模型

随机约束gj（X，ξ）≤0，j=1，2，…，m为不确定环境，其中X是决策向量，ξ是随机向量，称不等式hk（X，ξ）≤0，k=1，2，…，q为事件，记为ε。相关机会规划模型：max （X），

s.t.Pr（f（X，ξ）≥（X））≥α，

Pr（gj（X，ξ）≤0）≥αj，j=1，2，…，m。（4）2.3随机灰规划问题

随机性和灰性在众多生活和生产问题中是共存的，采用单纯的随机规划或灰色规划方法均不能有效进行决策，建立能够同时描述随机性和灰性的数学模型是解决这类问题的关键环节。

例如：某玻璃厂生产3种不同规格的玻璃，现求利润。利润与原料单耗和机时单耗有关，其中机时单耗是不能确定的。由于数据不完备，不能准确得到机时单耗的用时，但可以通过数据统计得知，其取值在一个不确定的区间内，并知道两个端点的分布。由于利润与机时单耗有关，机时单耗不能确定，那么利润准确取值也不能得到，利润的数据取得方法与机时单耗的数据取得方法相同。

1）随机灰规划的数学模型

定义2如果一个区间的两个端点不是实数而是随机变量，则称这个区间为随机区间。记为[ξ，η]，其中ξ和η分别为服从某种分布的随机变量。

定义3如果区间灰数的取值属于一个随机区间[ξ，η]，则称为随机区间灰数。记为∈[ξ，η]，其中ξ和η分别为服从某种分布的随机向量。

例如：由于数据不完备机时单耗的取值不能确定，只能得到其取值在一个两端取值不确定的区间内，即随机区间[ξ，η]，这里机时单耗的取值就是一个区间灰数。

定义4设Θ为所有随机区间灰数构成的空间，如果∈[ξ，η]为随机区间灰数，f（X，）：（R，Θ）→R，则f（X，）为随机区间灰目标函数。

由上面的定义可以看出，由于随机区间灰数∈[ξ，η]中ξ和η分别为服从某种分布的随机变量，所以区间[ξ，η]的两个端点ξ和η无法直接比较大小，所以这个是更加广义层面的区间的定义。由此定义2-定义4是对灰数概念的一个推广。

下面给出随机灰规划的数学模型：max f（X，），

s.t.gj（X，）≤0，j=1，2，…，m，（5）其中：∈[ξ，η]，为随机区间灰数；f（X，）称为随机区间灰目标函数；gj（X，）≤0，j=1，2，…，m，称为随机区间灰约束条件。

这里考虑通过综合效应函数先将随机灰规划问题转化为一般形式灰规划问题，再应用综合效应函数思想给出问题的最优解。

2）期望值灰规划模型

定义5如果∈[ξ，η]为随机区间灰数，取ξ的数学期望E（ξ）来集中代表ξ，则E为随机区间期望值灰数。

取ξ的数学期望E（ξ）来集中代表ξ，这样可以将模型（5）中的随机区间灰数转化为区间灰数。得到模型（6）： max f（X，E），

s.t.gj（X，E）≤0，j=1，2，…，m，（6）其中：E∈[E（ξ），E（η）]为区间灰数；f（X，E）称为区间灰目标函数；gj（X，E）≤0，j=1，2，…，m，称为区间灰约束条件。此处不要求E（ξ）3）机会约束灰规划模型max （X），

s.t.Pr（f（X，）≥（X））≥α，

Pr（gj（X，）≤0）≥αj，j=1，2，…，m，（7）其中：∈[ξ，η]为区间灰数；f（X，）称为随机区间灰目标函数；gj（X，）≤0，j=1，2，…，m，称为随机区间灰约束条件。

4）基于效应的随机灰规划模型

定义6如果S（x，y）：R×R→R满足对于固定的y关于x单调递增，对于固定的x关于y单调递减，S（x，0）=x，则称S（x，y）为综合效应函数。

例如：[0，2][-5，7]的均值相同，都是2，但是這2个区间的区间长度是不同的，区间长度不同离散程度一定不一样，即均值相同方差可能不相同，所以不能只考虑均值，还应该考虑方差，要引入综合效应函数。

S（x，y）=x（1+βy）α，S（x，y）=x+ky，其中k<0，都是综合效应函数。

定义7如果∈[ξ，η]为随机区间灰数，取S（E（ξ），D（ξ））来集中代表ξ，则S为随机区间综合效应灰数。

从定义7可以看出，如果E（ξ）越大，而D（ξ）越小，也就是S（E（ξ），D（ξ））越能够集中代表ξ。所以通过综合效应函数，可以将模型（5）中的随机区间灰数转化为区间灰数。得到模型（8）：max f（X，S），

s.t.gj（X，S）≤0，j=1，2，…，m，（8）其中：S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]为区间灰数；f（X，S）称为区间灰目标函数；gj（X，S）≤0，j=1，2，…，m，称为区间灰约束条件。这里不要求S（E（ξ），D（ξ））

s.t.S′（gjmax（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），

-gjmin（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））≤0，

j=1，2，…，m，（9）

由此，可以按照确定型规划模型的方法求解。

同理可以在期望值随机灰规划模型中应用综合效应函数S′（a，-b），模型（6）可以转换确定型等价模型（10）为

max S′（fmax（X，[E（ξ），E（η）]），

-fmin（X，[E（ξ），E（η）]）），

s.t.S′（gjmax（X，[E（ξ），E（η）]），

-gjmin（X，[E（ξ），E（η）]））≤0，

j=1，2，…，m。（10）

定义9如果二元函数S（x，y）在凸集D上满足，对任意（x1，y1）∈D，（x2，y2）∈D且0≤α≤1，有

S（αx1+（1-α）x2，αy1+（1-α）y2）≤

αS（x1，y1）+（1-α）S（x2，y2）

成立，则称函数S（x，y）为联合凸的。

定理1假设函数f（X，S）对每个固定的S关于x是凸函数，函数gj（X，S），j=1，2，…，m，对每个固定的S关于x是凸函数，S′（x，-y）是联合凸的，则模型（9）为凸规划。

证明由于S（E（ξ），D（ξ））和S（E（η），D（η））是固定值，故S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]为区间灰数，不具有随机性。

fmax（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）为当S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]时f（X，S）的最大值，故此最大值只和x有关。

fmin（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）为当S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]时，f（X，S）的最小值。故此最小值也只和x有关。

令0≤α≤1，

S′（fmax（αx1+（1-α）x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），

-fmin（αx1+（1-α）x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））≤

S′（αfmax（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）+（1-α）fmax（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），

-αfmin（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）-（1-α）fmin（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））≤

αS′（fmax（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），fmin（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））+

（1-α）S′（fmax（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），fmin（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）），

其中第1個不等号是因为S′（x，-y）是综合效应函数。第2个不等号是因为S′（x，-y）是联合凸函数。证毕。

定理2假设函数f（X，S）对每个固定的S关于x是凸函数，函数gj（X，S），j=1，2，…，m，对每个固定的S关于x是凸函数，S′（x，-y）是联合凸的，则模型（10）为凸规划。

证明令综合效应函数S（x，y）=x，则模型（8）就等价转化为模型（9）。由定理2可知在满足定理条件下模型（8）为凸规划，故在满足定理条件下模型（10）也为凸规划。证毕。

3实例应用

某玻璃加工厂生产A，B，C产品，且要求3种产品的总产量不低于60件。机时单耗的数据是随机的，如表1所示。

产品消耗ABC资源数量原料单耗2352 000机时单耗4562 600利润123

通过数据统计可以得到，其中1∈[ξ1，η1]，ξ1服从区间（2，4）上的均匀分布，η1服从区间（2，8）上的均匀分布；2∈[ξ2，η2]，ξ2服从N（2，1）正态分布，η2服从N（4，1）正态分布；3[ξ3，η3]，ξ3服从N（5，9）正态分布，η3服从N（8，16）正态分布。4∈[ξ4，η4]，ξ4服从参数为1/2的指数分布，η4服从参数为1/3的指数分布。5∈[ξ5，η5]，ξ5服从参数为1/4的指数分布，η5服从1/6的指数分布；6∈[ξ6，η6]，ξ6服从区间（2，6）的均匀分布，η6服从（4，6）的均匀分布。

依此可以建立问题的数学模型如下：

max z=1x1+2x2+3x3，

s.t.2x1+3x3+5x3≤2 000，

4x1+5x2+6x3≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0。（11）

可将模型（11）转换成期望值模型：

max z=E1x1+E2x2+E3x3，

s.t.2x1+3x3+5x3≤2 000，

E4x1+E5x2+E6x3≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0，（12）

其中：E1∈[3，5]； E2∈[2，4]；E3∈[5，8]；E4∈[2，3]；E5∈[4，6]；E6∈[4，5]。由于体现决策意识的是α，β的取值，所以选取此综合效应函数形式S′（x，y）=x（1+βy）α，α，β>0，则模型（12）转化为

max 5x1+4x2+8x3[1-β（3x1+2x2+5x3）]α，

s.t.2x1+3x2+5x3≤2 000，

3x1+6x2+5x3[1-β（2x1+4x2+4x3）]α≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0。（13）

表2期望值模型中α，β取值对最优解的影响

Tab.2Influence of α， β on the optimal solution

in the expected value model

α，β取值最优解α=0.1，β=0.1（0，0，400）α=0.1，β=1（0，0，400）α=0.1，β=10（0，0，400）α=1，β=0.1（0，0，400）α=1，β=1（0，0，400）α=1，β=10（0，0，400）α=10，β=0.1（5，3，393）α=10，β=1（0，0，400）α=10，β=10（5，3，393）

由表2可以看出，在转换成期望值模型时解的取值与α，β的取值有关，（如当α=10，β=0.1，1时产品A、产品B、产品C的产量都变化了，即当α=10时，β的取值对产品A、产品B、产品C的产量都有影响），还存在α，β取值都不同，解相同的情况。

可将模型（11）转化为基于效应的随机灰规划模型

取S（x，y）=x-0.1y，其中y的系数是对方差的控制，其选取范围为（0，1），根据经验统计，取值一般小于03，此处取0.1。S（E（ξ），D（ξ））=E（ξ）-0.1D（ξ）可转化为模型：

max z=S1x1+S2x2+S3x3，

s.t.2x1+3x3+5x3≤2 000，

S4x1+S5x2+S6x3≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0，（14）

其中：S1∈[2.9，4.7]；S2∈[1.9，3.9]；S3∈[4.1，6.4]；S4∈[1.6，2.1]；S5∈[2.4，2.4]；S6∈[3.8，4.9]。取综合效应函数S′（x，y）=x（1+βy）α，α，β>0，则模型（14）转化为

max 4.7x1+3.9x2+6.4x3[1-β（2.9x1+1.9x2+4.1x3）]α，

s.t.2x1+3x2+5x3≤2 000，

2.1x1+2.4x2+4.9x3[1-β（1.6x1+2.4x2+3.8x3）]α≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0。（15）

對模型（15）中的α，β取不同值时，其最优解见表3。

由表3可以看出，在转换成基于效应的随机灰规划模型时，解的取值与α，β的取值无关。

从上述计算结果可以看出：即使选取的综合效应函数不同，所得解之间的差异十分小，几乎可以忽略不计，这表明综合效应函数模型可以有效地将随机因素和灰色因素的处理意识融入到决策过程中，使得所得解非常稳定，同时也说明了随机灰规划模型的稳健性（此结果可通过与期望值模型所得解进行比较，即表2与表3的比较所得）。

4结语

客观世界复杂变化，使得数据与信息的随机性较为明显。对于随机因素和灰色因素同时存在的优化问题，提出了随机区间灰数和随机区间灰函数的概念，给出了同时包含随机因素和灰色因素的随机灰规划数学模型。在此基础上，通过综合效应函数的理念，综合随机变量的期望和方差，同时综合区间灰数的区间因素，将随机灰规划数学模型转化为确定型规划模型，即基于效应的随机灰规划模型。通过选取不同的综合效应函数，得到了关于不同决策意识下的随机灰规划的最优解。这个方法可为决策者进行不确定决策提供参考。

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