随机波动率下美式期权定价的对偶LSM法

霍海峰 温鲜

摘 要：当股票价格满足Hull-White随机波动率模型时，应用对偶最小二乘蒙特卡罗（LSM）方法研究美式期权的定价.首先，采用对偶蒙特卡罗（MC）法模拟出股票价格，并利用这些股票价格计算美式期权在不同时刻对应的现金流.其次，利用改进后的最小二乘蒙特卡罗（LSM）法计算美式期权的价格.最后，进行数值模拟计算，得到了随机波动率对美式期权定价的影响，并验证了该方法的准确性.

关键词：随机波动率；美式期权；最小二乘蒙特卡罗法

中图分类号：O29∶F267 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2018.04.018

0 引言

经典的Black-Scholes（BS）期权定价模型在现实应用中存在许多不足，例如：假设标的资产（股票）的波动率为常数，这与实际金融市场中隐含波动率的微笑效应不相符.为了弥补这一缺陷，将股票价格的波动率也看作一个随机过程（即随机波动率模型），这已成为当下金融市场的热点研究问题之一.常见的随机波动率模型有Hull-White模型[1]（HW随机波动率模型）（1987）、Scott模型（1987）、Stein-Stein模型（1991）及Heston模型（1993）.这些模型中最具有代表性且颇受研究者关注的是通过几何布朗运动或者均值回复过程来刻画标的资产波动率，即Hul-White或Heston随机波动率模型.江良等[2]研究了Hull-White随机波动率模型的参数估计方法，而邓国和等[3-4]考虑了随机波动率下的欧式奇异期权的定价问题.与欧式期权相比，美式期权的持有人可提前执行期权，因此拥有比欧式期权更多的获利机会.另一方面，美式期权的价格与持有人的最佳实施时刻有关，持有人必须制定最佳实施策略，计算最优执行时刻，以获得最大收益.因此，研究随机波动率模型的美式期权定价问题更具实际意义.

由于美式期权实施时刻的不确定性，无法求得其价格的解析解，只能采用数值方法对美式期权进行定价.期权定价常用的数值方法主要有二叉树法、有限差分法和蒙特卡罗模拟法，而蒙特卡罗模拟方法在处理多个标的资产和路径依赖型的期权定价问题具有明显优势.Tilly[5]在1993年首次利用 Monte Carlo （MC）模拟法对美式看跌期权进行定价，Broadle等[6]对该模型及方法进行改进，但模拟结果偏差较大.直到Longstaff等[7]提出了最小二乘蒙特卡罗（LSM）方法对美式期权进行定价，并用该方法对路径依赖型期权定价.随后，越来越多学者关注LSM法对金融资产的定价.Stentoft[8]在多资产的期权定价中应用了LSM法，且通过实证说明了LSM法比二叉树法更加有效.Cortazar等[9]将LSM法推广到多维美式实物期权的估价中，Alonso等[10]也应用LSM算法对具有公司投资背景的实物期权进行估价，并展示了这个方法优于其他的数值算法.国内也有学者利用LSM方法对金融资产定价问题进行研究[11-12].

然而，普通的Monte Carlo（MC）模拟法是通过随机产生的伪随机数来模拟标的资产价格变化的路径，由于这些变量产生的随机性，会导致模拟结果不理想，有时会与实际值产生较大的偏差，因此，减小随机性的方差技术就变得很重要.尤其是对偶变量技术作为一种常用的方差减少技术，主要是利用变量间的负相关性达到缩减方差的效果.同时，查询已有的研究文献显示，基于Hull-White随机波动率模型下研究美式期权定价的文献几乎为零，因此，本文在Hull-White随机波动率模型（包含相关情形）下应用对偶变量方差减少技术与最小二乘蒙特卡罗模拟（LSM）相结合的方法研究美式期权的定价问题，给出了具体的计算步骤，并进行数值模拟，数值计算结果显示了随机波动率对美式期权定价的影响，也验证了该算法的准确性.

1 随机波动率模型

假设标的资产（股票）在[t]时刻的价格为[St]，满足Hull-White（1987）[1]随机波动率模型，可连续交易的金融市场无摩擦、无套利且无红利支付.在风险中性概率测度[Q]下连续交易的投资期为[[0，T]]，[T]为交易的到期时刻.考虑一份美式期权，其标的资产（股票）价格[St]满足如下的随机微分方程：

[dStSt=rdt+YtdWt] （1）

[dYtYt=μdt+σdW*t] （2）

這里，式（2）描述了股票价格[St]的瞬时波动率，过程[Yt]即为随机波动率过程，其中[r]为无风险利率，[μ]为波动率过程[Yt]的漂移系数，[σ]为[Yt]的波动系数，[r、μ、σ]均为给定的常数.[Wt，W*t]是风险中性概率测度[Q]下两个相关的标准Brownian运动，且协方差[Cov（dWt，dWt*）=ρdt]，[ρ]为相关系数.

2 美式期权定价的对偶LSM法

2.1 生成波动率的样本路径

已知波动率过程[Yt]满足式（2），由[Ito]公式可知，式（2）可表示为：

[dln（Yt）=（μ-12σ2）dt+σdW*t] （3）

既然[dWt，dW*t]的相关系数为[Corr（dWt，dWt*）=ρ]，则可记[dW*t=ρdWt+1-ρ2dZt]，相应式（3）可改写成：

[dln（Yt）=（μ-12σ2）dt+σρdWt+σ1-ρ2dZt] （4）

其中，[dWt]与[dZt]为相互独立的标准Brownian运动的增量.

利用式（4）和Monte Carlo法可以模拟波动率的样本路径.首先，将时间区间[[0 ， T]]进行[n]等分割，每个子区间的长度为[Δti=Tn]，则可得式（4）的离散情形：

[lnYti-lnYti-1=（μ-12σ2）Δt+σρε1iΔt+σ1-ρ2ε2iΔt] （5）

其中，[i=1， 2， …， n.][ ε1i ， ε2i]为相互独立且服从标准正态分布的简单随机样本.

若给定初始时刻的波动率[Y0]，由式（5）可模拟出任意时刻[ti]的波动率：

[Yti=Y0exp{i[（μ-12σ2）Δt+σρε1iΔt+σ1-ρ2ε2iΔt]}] （6）

由式（6）模拟的一条波动率路径记作 [yj=（Yj，t0 ， Yj，t1 ， … ， Yj，tn） ， j=1 ， 2 ， …， N.]经过[N]次模拟得到的[N]条波动率样本路径记作矩阵：

[PN×（n+1）=y1?yN].

2.2 生成股票价格样本路径

在风险中性概率测度[Q]下，股票价格[St]满足模型（1），由[Ito]公式可得：

[dln（St）=（r-12Yt）dt+YtdWt] ， （7）

将时间区间[[0，T]]作同上的分割，由式（7）可得：

[lnSti-lnSti-1=（r-12Yti）Δt+Ytiε1iΔt] （8）

其中，[ε1i]为独立的且服从标准正态分布的简单随机样本.当给定初始时刻的标的股票价格[S0]，由式（6）和式（8）可得任意时刻[ti]的股票价格：

[Sti=S0exp{i[（r-12Yti）Δt+Ytiε1iΔt]}] （9）

经过[N]次模拟，同样可得到股票价格的样本路径矩阵，记作：

[L1N×（n+1）=S1，t0…S1，tn??SN，t0…SN，tn].

取随机样本[ε1i]的相反数[-ε1i]作为对偶样本，同理可模拟出任意时刻[ti]的股票价格：

[S*ti=exp{lnS0+i[（r-12Yti）Δt-Ytiε1iΔt]}] （10）

类似地，经过[N]次模拟，可得到股票价格的[N]条对偶样本路径，记作矩阵

[L2N×（n+1）=S*1，t0…S*1，tn??S*N，t0…S*N，tn].

2.3 计算各路径的最优实施时刻和收益

以美式看涨期权为例.设期权在交易时间[[0，T]]的实施时刻有[n]个，分别为[0[VT=f（ST）=（ST-K）+]

[Vi（ti，Sti）=max{（Sti-K）+，EQ[e-rΔtVi+1（ti+1，Sti+1）Sti]}].

接下来利用已经模拟出的[2N]条股票价格路径，由后往前倒向计算，其中美式期权定价的对偶LSM法包括下列步骤：

步骤一：在[tn=T]时刻，计算每条样本立即执行期权的收益为[fi（tn）=（Si，tn-K）+，][i=1，…，N.]则该时刻的现金流为[Ci（tn）=fi（tn）].同理，计算相应对偶样本立即执行期权的收益为：[f*i（tn）=（S*i，tn-K）+，i=1，…，N.]则该时刻的现金流为[C*i（tn）=f*i（tn）].

步骤二：在[t=tn-1]时刻，首先采用对偶最小二乘法计算继续持有期权的内在估计价值的值[F（tn-1）].在[tn-1]时刻，利用每条路径的下一个时刻[tn]的现金流折现值作为回归基函数[Z]的值，股票价格[Si，tn-1]作为自变量[X]值，作二次拟合，即：

[Z=C1（tn）e-rΔtC2（tn）e-rΔt ?CN（tn）e-rΔt] ，[X=S1 ， tn-1S2 ， tn-1?SN ， tn-1]

[Z=aX2+bX+c] （11）

根据最小二乘法可以估计系数[a， b， c]，并将每条样本路径[X]带入式（11），可得[tn-1]时刻继续持有期权的内在估计价值为：

[F1（tn-1）=aS21，tn-1+bS1，tn-1+cF2（tn-1）=aS22，tn-1+bS2，tn-1+c ?FN（tn-1）=aS2N，tn-1+bSN，tn-1+c] （12）

其中[Si，tn-1]為[tn-1]时刻第[i]条路径的股票价格，[Fi（tn-1）]为[tn-1]时刻第[i]条路径的继续持有期权的内在估计价值，[i=1 ， 2 ， … ， N].

同理，利用对偶变量法模拟出[N]条股票价格[S*i，tn， i=1， 2， …， N.]相应可以得到[tn-1]时刻继续持有期权的内在估计价值为

[F*1（tn-1）=a（S*1，tn-1）2+bS*1，tn-1+cF*2（tn-1）=a（S*2，tn-1）2+bS*2，tn-1+c?F*N（tn-1）=a（S*N，tn-1）2+bS*N，tn-1+c] （13）

将继续持有期权的内在估计价值[Fi（tn-1）]与执行价值[fi（tn-1）]相比较，确定第[i]条样本路径中[tn-1]时刻的最优实施策略.若[Fi（tn-1）>fi（tn-1）]，则应继续持有期权至[tn]时刻，[tn-1]时刻的现金流为[Ci（tn-1）=0]，而[tn]时刻现金流为[Ci（tn）=fi（tn）=（Si，tn-K）+].若[Fi（tn-1）≤fi（tn-1）]，则应立即执行期权，那么[tn-1]时刻即为一个停时，记为[τ=tn-1].此时的现金流为[Ci（tn-1）=fi（tn-1）=（Si，tn-1-K）+]，而下一个时刻[tn]的现金流为[Ci（tn）=0].

同理可更新对偶样本的现金流，记为[C*i（tn-1） ，C*i（tn）].

步骤三：在[tn-2]时刻，由[tn-1，tn]时刻最优策略得到的所有现金流的折现值（到[tn-2]时刻）之和作为回归基函数[Z]，标的股价[Si，tn-2]作为因变量[X]，即

[Z=C1（tn-1）e-2rΔt+C1（tn）e-rΔtC2（tn-1）e-2rΔt+C2（tn）e-rΔt?CN（tn-1）e-2rΔt+CN（tn）e-rΔt]， [X=S1，tn-2S2，tn-2?SN，tn-2]

重复步骤二得出[tn-2]时刻的现金流、最优执行策略和更新最优执行时刻.类似往前推[tn-3， …， t0]時刻.重复步骤二，计算每条样本路径新的最优执行时刻[τ=（τ1， …， τN）].同理计算对偶样本的新的最优执行时刻[τ*=（τ*1，…，τ*N）].

步骤四：从初始时刻[t=0]开始，直到各[i（i=1， 2， …， N）]条路径上的第一个停时即为最优停时[τi]，将所有路径最优停时[τi]时刻的现金流都折现到初始时刻，再求和，最后对[N]条路径求均值，从而可以得到美式期权在初始时刻[t=0]的价值：

[V0=i=1Ne-rτiCi（τ）+i=1Ne-rτ*iC*i（τ*）2N] （14）

其中，[Ci（τ）]为第[i]条路径在最优停时[τ]产生的现金流，[C*i（τ*）]为相应的对偶变量模拟的第[i]条路径在最优停时[τ*]产生的现金流.对于美式看跌期权也有类似的结论.

3 数值结果

考虑一份标准美式看涨期权，假设可连续交易的时间[T]为一年，[K]为执行价格，[S0]和[Y0]分别为初始时刻的股票价格和波动率，[r、μ、σ、ρ]的定义同模型（1）和模型（2），由于一年共365天，故时间间隔[Δti=T/365]，计算的基本参数值为：[S0=50， Y0=0.3， ][r=0.1， σ=0.6， ][ρ=0.4， μ=0.2， n=365，][ N=500.]这里[N]表示模拟的路径数目.

首先，考察执行价格[K=40、45、50]，交易时长分别为3个月、6个月、12个月时，在经典BS模型和HW随机波动率模型下利用对偶LSM法计算出美式看涨期权的价格见表1.由表1可知，HW随机波动率模型下计算的美式期权价格与经典BS模型下计算的结果相比平均相对误差为13.74%，这说明随机的波动率对美式期权的价格有一定影响，因此，在实际期权定价中应考虑波动率的变化.

其次，当T=1，K=45时在HW随机波动率模型下分别利用LSM法，对偶LSM法以及普通MC法，计算美式期权的价格，并进行对比分析. 表2为HW随机波动率模型下利用LSM法与对偶LSM法计算美式期权价格，表3为利用普通MC法与对偶LSM法计算美式期权价格.由表2和表3计算结果对比可知：①平均相对误差分别为2.64%，24.71%，说明LSM法与对偶LSM法计算的期权价格比较接近，而普通MC法在计算美式期权价格时稳定性不高，精确度也不高.②在运行时间上，随着路径数目的增加，计算程序的运行时间也会增加.由表2、表3可知，在不同路径数目下对偶LSM法的运行时间多于LSM法和普通MC法，但运行时间相差不超过60 s.③对偶LSM法计算美式期权价格的方差远小于普通LSM法和普通MC法的方差，这说明对偶LSM法可以有效地减小方差，保证计算的稳定性.综合上述情形可知，在运行时间相差不超过60 s的时间内，对偶LSM法计算结果的准确性和稳定性明显优于LSM法和普通MC法.

最后，在HW随机波动率模型下采用对偶LSM法分别计算不同相关系数[ρ]时美式期权的价格，见表4，其他基本参数值同表1.由表4可知，当[ρ=0]时期权价格最小，期权价格随着[ρ]的增大而逐渐增大，在HW随机波动模型下研究美式期权的价格也应该考虑相关系数[ρ]的影响.

4 结论

本文运用对偶最小二乘蒙特卡罗（LSM）方法对推广的HW随机波动率下美式期权进行定价研究，得到了随机波动率下美式期权定价的对偶LSM方法的具体计算步骤，并在确定参数值下进行了数值模拟计算.通过数值计算可知随机的波动率对美式期权定价有一定的影响，并且验证了对偶LSM法的有效性和准确性.而随机波动模型下应用对偶LSM方法对奇异期权的定价，也是今后研究的方向.

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Antithetic variable LSM method to price American option under

Hull-White stochastic volatility model

HUO Haifeng1， WEN Xian1， 2

（1. College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China； 2. Public Mathematics department， Lushan College of Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China ）

Abstract： This paper uses the antithetic variable least-squares Monte Carlo（LSM）method to price the American option under Hull-White stochastic volatility model. First， we simulate the price of the stock by the antithetic variable Monte Carlo （MC） method. Then， we use the price of the stock to calculate the cash flow of American option at different time. And we improve the least-squares Monte Carlo simulation method which can be used to calculate the price of American option. Finally， we illustrate our results with the numerical calculation of the price of the American option. Our numerical investigation shows the impact of the stochastic volatility on the American options and the accuracy of the antithetic variable LSM method.

Key words： stochastic volatility； American option； least-squares Monte Carlo method

（學科编辑：张玉凤）